《泛函分析》课程教学资源（授课教案讲义，共十七讲）

使得对所有x,yeX, dTx,Ty)s(xy以， 其中，0≤0<1，则T有唯一不动点，即Tx=x 证明易见T也是X→X自身的映射，且是压缩映射.由X的完备性知， T在X上有唯一的不动点，设为x即Tx。=。.下证：T飞，也是T的不动点 因为 T(Tx)=TTx)=T(xo). 故下，也是T的不动点.由T心的不动点唯一性知 Txo=Xo 由此知x。为T的一个不动点 下证x的唯一性.设y,也是T的一个不动点，即 T%=%' 可证，也是T心的不动点.事实上， T%=T4-)=T6=T-0,)=T2为=.==为 由T的不动点的唯一性知 xo=Yo 即T的不动点唯一，取x=x,即得证 注若x是T心的不动点，则x是T的不动点：若x是T的不动点，则x是T 的不动点.（前提：若T满足定理2） 二.压缩映射原理的应用（证明解的唯一性） 例1对于初值问题 停=小 (1) x(to)=xo

24 使得对所有 x, y  X ， dT x T y dx y n n , , 0 0  , 其中， 0  1 ，则 T 有唯一不动点，即 T x  x . 证明 易见 n0 T 也是 X  X 自身的映射，且是压缩映射. 由 X 的完备性知， n0 T 在 X 上有唯一的不动点，设为 0 x 即 0 0 0 T x x n  . 下证: Tx0 也是 n0 T 的不动点. 因为       0 0 0 0 0 T Tx T T x T x n n   , 故 Tx0 也是 n0 T 的不动点. 由 n0 T 的不动点唯一性知 0 0 Tx  x . 由此知 0 x 为 T 的一个不动点. 下证 0 x 的唯一性. 设 0 y 也是 T 的一个不动点，即 0 0 Ty  y ， 可证 0 y 也是 n0 T 的不动点. 事实上，     0 2 0 2 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 T y T Ty T y T Ty T y n n  n  n  n      0 0  Ty  y 由 n0 T 的不动点的唯一性知 0 0 x  y 即 T 的不动点唯一. 取 0 x  x 即得证. 注 若 x 是 n0 T 的不动点，则 x 是 T 的不动点；若 x 是 T 的不动点，则 x 是 n0 T 的不动点.（前提：若 T 满足定理 2） 二．压缩映射原理的应用（证明解的唯一性） 例 1 对于初值问题          x( ) ， , ， 0 0 t x f x t dt dx （1）

其中fx,)在平面上连续且对变量x满足Lipschit条件 k,)-fx,≤-x 则存在1，的某个领域，使cauchy问题(1)有唯一解。 解求初值问题(1)的解等价于积分方程 x)=x+f()Hr. 3 选取6>0，使得k6<1.考虑C。-6,+d上映射： Tx()=[f(x(r).Hr+x (3) 要证明方程(2)有唯一解(，的6领域内)，则需证明T有不动点.由f(x,)在 平面上连续，Tx)也是连续的.则T是空间C止。-6,4。+司→C。-6,。+d创自身 的映射.Ca,是完备的，所以CL。-6,。+d完备.x)x,)eC。-6,+ dx,)=mV6小-f,以 ≤，)-xa ≤6四)-x6) =kod(x.x2). 由于0≤kδ<1，且空间C。-6,。+d完备，根据压缩映射原理即得T有唯一的 不动点.故在。的某个领域中有唯一解 补充例题(p36的第17题) 证明存在闭区间上的连续函数x),使得 x()-sinx()-a). 其中a)是给定的[0，上的连续函数 证明利用例1的思想，令

25 其中 f x,t 在平面上连续且对变量 x 满足 Lipschit 条件     1 2 2 1 f x ,t  f x ,t  k x  x , 则存在 0 t 的某个领域，使 cauchy 问题（1）有唯一解. 解 求初值问题（1）的解等价于积分方程       d t x t x f x t    0 , 0 . （2） 选取   0 ，使得 k 1. 考虑     0 0 C t ,t 上映射：       0 0 , d x t Tx t f x t       . （3） 要证明方程（2）有唯一解（ 0 t 的  领域内），则需证明 T 有不动点. 由 f x,t 在 平面上连续， Txt 也是连续的. 则 T 是空间     0 0 C t ,t      0 0 C t ,t 自身 的映射. Ca,b 是完备的，所以     0 0 C t ,t 完备. x1 t, x2 t     0 0 C t ,t                 t t t t d Tx Tx f x f x d 0 0 , max , , 1 2 1 2                t t t t k x x d 0 0 max 2 1     k x t x t t t 2 1 0  max       1 2  kd x , x . 由于 0  k 1 ，且空间     0 0 C t ,t 完备，根据压缩映射原理即得 T 有唯一的 不动点. 故在 0 t 的某个领域中有唯一解. 补充例题（ p36 的第 17 题） 证明 存在闭区间 0, 1 上的连续函数 xt ，使得 xt  sin xt at 2 1 ， 其中 at 是给定的 0,1 上的连续函数. 证明 利用例 1 的思想，令

x()=sinx()-a(). 证明上题问题即证T有不动点)=x).假设存在x)且是0，上的连续函 数，则0=)sn)-0也是连续的函数.即T是cb,]→c巾，的自身映 射且C[0,]完备.由于 dr.,)sin x)-sin) in-sin ≤躺=，小 根据压缩映射定理知，T存在唯一不动点.即得 70=,smx0)-a0=0 存在唯一解 例2如果矩阵(a,)满足条件： 空1，则方程组后名的=4·2”有唯一解 x=0,(说明：为习惯起见，此题中的未知量理解为为分) 证由e-∑a,9,=6知则e=立a,5,+6.作映射 （a6+a62+.+an8n+） a25+a52+.+an5n+b a36+a362+.+a3n6n+b (n an5+a52+.+an5n+b R本身是完备的.易见T:R”→R”.任取X=0,9,.,}

26 Txt  sin xt at 2 1 . 证明上题问题即证 T 有不动点 Txt  xt. 假设存在 xt 且是 0,1 上的连续函 数，则 Txt  sin xt at 2 1 也是连续的函数. 即 T 是 C 0,1  C 0,1 的自身映 射且 C[0,1]完备. 由于                             d Tx Tx x a t x a t t 1 2 0,1 1 2 sin 2 1 sin 2 1 ， max     1 2 0,1 sin sin 2 1 max x x t        2 1 1 2 0,1 , 2 1 max 2 1 x x d x x t     ， 根据压缩映射定理知， T 存在唯一不动点. 即得 Txt  sin xt at 2 1  xt 存在唯一解. 例 2 如果矩阵   aij 满足条件： 1 1 1 2     n i n j aij ， 则 方 程 组 j i n j ij   a  b    1 i ， i 1,2,  ,n 有 唯 一 解         0 0 2 0 0 1 , , , n x      .(说明：为习惯起见，此题中的未知量 𝜀𝑖理解为为 𝜉𝑖 ) 证 由 j i n j aij  b    1 i 知则 j i n j  aij  b    1 i . 作映射                                                n n n n n n n n n n n n n a a a b a a a b a a a b a a a b T                      1 1 2 2 3 1 1 3 2 2 3 3 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 2 1 . n R 本 身 是 完 备 的 . 易 见 n n T : R  R . 任 取         1 1 2 1 1 1 , , , n x     

x2=2,.,},则有 /as0+a250+.+a.s0+b 压=a9+a6"+.+a,0+ 。 de+aa+b as日+a,s2+.+ans+b Tx,= a62+a5+.+an6月+by aas+an2E+.+ans+bn dcx)-2,- 由柯西不等式 2ajsΣΣ d22立- 2-月 <od) 其中0=（11a)<1.因为T为完备空间，且dx,Ix)<0dk,x), 由压缩映射原理知：T在R”上有唯一不动点，即x=x,设此不动点为 x0={e0,0,.,0} 即 T=0 27

27         2 2 2 2 2 1 , , , n x      , 则有                                                                                           n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a b a a a b a a a b Tx a a a b a a a b a a a b Tx 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1                                               n i n j d Tx Tx aij j j 1 2 1 1 2 1 2 ,   由柯西不等式            2 2 2 1 i i n i aibi a b d(T𝑥1, T𝑥2 )                     n i n j j j n j aij 1 1 2 1 2 1 2                        n i n j j j n j aij 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 （ ）      d x1 ,x 2 . 其中θ = （ ∑ ∑ 𝑎𝑖𝑗 𝑛 2 𝑗=1 𝑛 𝑖=1 ） 1 2 < 1. 因为 T 为完备空间，且     1 2 1 2 d Tx ,Tx  d x ,x ， 由压缩映射原理知： T 在 n R 上有唯一不动点, 即 Tx  x . 设此不动点为         0 0 2 0 0 1 , , , n x      , 即 0 0 Tx  x . 故

例3Vol1er方程.最后我们讨论olterra型积分方程 x()=o(t)+a[k(t.sk(s)ds. 这个方程与书本中的(1.4.8)的不同之处在于积分的上限为变量1，而函数K(,s) 为给定的区域a≤t≤b,a≤s≤t上的连续函数. 证作映射T:4,a,创)=)+心Kt,ssd仍是连续的.即 T是C[a,]到自身的映射.x),x,)eCa,b: d,)=- X() X() 因为，5)为连续函数，所以彐M使得k(,s)≤M,从而 d(r sMd(xx2Xt-a). 因此 r产x)-7产，≤ta,》-a,月 器a)-T达 s☏kt.aKe-ah .Xs-ols sdx.x) 2 于是 28

28       i n j ij j n  a  b           1 0 0 0 1     . 例 3 Volterra 方程. 最后我们讨论 Volterra 型积分方程 xt t Kt sxsds t a    , . 这个方程与书本中的（1.4.8）的不同之处在于积分的上限为变量 t ，而函数 Kt,s 为给定的区域 a  t  b,a  s  t 上的连续函数. 证 作映射 T : C a,b  C[a,b] xt t Kt sxsds t a    , 仍是连续的 . 即 T是Ca,b 到自身的映射. x t, x t Ca,b  1 2  ,     1 2 , d Tx1 ,Tx2 max Tx Tx t a b    t a,b max   Kt sx s x sds t a 1 2 , -   t a,b max   Kt sx s x sds t a 1 2 , -   . 因为 kt,s 为连续函数，所以 M 使得 kt,s  M , 从而 d( , ) 1 2 Tx Tx  Mdx x t  a 1 2  , . 因此       T x t T x t T Tx t T Tx t t a b 1 2 , 2 2 1 2   max   t a,b max   Kt sTx t x tds t a 1 T 2 , -   t a,b max   Kt s Mdx x s ads t a   1 2  , . , t a,b max        t a M d x x s a ds 1 2 2 2  ,     1 2 2 2 2 , 2 d x x t a M    . 于是