S4.3n阶常系数线性微分方程 上节表明，为了求出阶非齐线性方程的通解，只要知道其对应齐线性微分方程的一个 基本解组即可。至此，从理论上可以说解的问题已解决，但即使对一般齐线性微分方程至今 也没有普遍的解法。下面就一些特殊阶线性微分方程类型给出求解法。 (1)对于阶常系数齐线性微分方程，只要通过解一个代数方程而不必使用积分运算，就 可以求出其基本解组： (2)对于阶常系非齐线性微分方程，当强拍而为两类特殊类型时，利用待定系数法可 以求出一个特解，而不必 用常数变易法 (3)对二阶常系数线性微分方程给出几种求解的新方法（见附录）。 1.实变量的复值函数 定义3设()和y)为区间[a,b]上函数，i为虚数单位，则称z()=)+iw)为区 间[a,b]上的实变量的复值函数 把i看成常数，同时注意到关于()极限、连续、微分和积分的概念与)和)极 限、连续、微分和积分的概念等价，于是有以下运算法则： 设：()=9，)+i4,),2()=,()+iΨ2()是区间上可微函数，这里c,C为任意 实（或复常数），B为实数 0_9@+y@ aG0出@=60+e把 d山 0=,00+0,0 d 进一步有如下公式和性质： (4慨拉公式：ea*py=e“(cosh+isin): (5)eee 6 di=ce; (7)d'e =(G)e 基于以上实变量的复值函数的运算与性质，给出如下定理。 定理10设L.()中的系数a,(),.,an()均为区间a,b上的实值连续函数，若 66
66 §4.3 n 阶常系数线性微分方程 上节表明，为了求出n 阶非齐线性方程的通解，只要知道其对应齐线性微分方程的一个 基本解组即可。至此，从理论上可以说解的问题已解决，但即使对一般齐线性微分方程至今 也没有普遍的解法。下面就一些特殊n 阶线性微分方程类型给出求解法。 （1）对于n 阶常系数齐线性微分方程，只要通过解一个代数方程而不必使用积分运算，就 可以求出其基本解组； （2）对于n 阶常系数非齐线性微分方程，当强迫项为两类特殊类型时，利用待定系数法可 以求出一个特解，而不必用常数变易法； （3）对二阶常系数线性微分方程给出几种求解的新方法（见附录）。 1． 实变量的复值函数 定义 3 设ϕ(t) 和ψ (t) 为区间[a,b]上函数，i 为虚数单位，则称 z(t) = ϕ(t) + iψ (t) 为区 间[a,b]上的实变量的复值函数。 把i 看成常数，同时注意到关于 z(t) 极限、连续、微分和积分的概念与ϕ(t) 和ψ (t) 极 限、连续、微分和积分的概念等价，于是有以下运算法则： 设 ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 z t = ϕ t + iψ t z t = ϕ t + iψ t 是区间上可微函数，这里 1 2 c c, 为任意 实（或复常数），α, β 为实数. (1) dt d t i dt d t dt dz (t) ( ) ( ) 1 ϕ1 ψ 1 = + ; (2) 1 1 2 2 1 2 1 2 d c z t c z t dz t dz t ( ( ) ( )) ( ) ( ) c c dt dt dt + = + ; (3) dt dz t z t dt dz t z t dt d z t z t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) 2 1 1 2 1 2 = + . 进一步有如下公式和性质： (4)欧拉公式： ( ) e e (cos t isin t) i t t β β α β α = + + ; (5) ( 1 2 ) 1 2 c c t c t c t e e e + = ; (6) 1 1 1 c t de c t c e dt = ; (7) 1 1 1 ( ) n c t n c t n d e c e dt = . 基于以上实变量的复值函数的运算与性质，给出如下定理。 定理 10 设 L (t) n 中的 系数 ( ), , ( ) 1 a t a t L n 均 为区间 [a,b] 上 的 实值连续 函数， 若
()=)+i()是方程(42)的复值解，则：()的实部g)、虚部0和共轭函数0也 都是方程(42)的解。 证明把i看成常数，由上节引理可知L.()》=Ln(》+iL,(》=0,注意到Ln(x) 系数均为实值函数，依据在一个复数等式中，等式两边实部和虚部应分别相等的原理，则有 L(p)=0和L.()=0。于是()，()均为方程的解，由叠加原理可证明0也是方程 的解。定理得证。 定理11设L,()中的系数a,(,a()均为区间[a,b上的实值连续函数，若 =(t)=()+iy(t)是方程 Ln(x)=f)+2) (4.19) 的解，则t)和()分别方程L(x)=f()和L.(x)=()的解。这里f()和f()均 为区间上的实值函勒 定理11的证明留给同学作为练习。 2.n阶常系数齐线性方程 考虑如下阶齐线性方程方程 L,=x dh++a,x=0420 这里a1,an均为实常数，称方程(4.20)为n阶常系数齐线性方程 回忆前面的一阶常系数线性方程女 =ar,可知此方程通解为x=ce“形式。当然对于 方程(4.20)，我们试图观察其是否也有如此形式x=e的解，这里为待定参数。注意到 Ln(e“)=（+a,2-l+.+a-+ank", F()="+a,+.+a-+an 对于方程 F()=0 (4.21) 称(421)为方程(420)的特征方程，其根称为特征根（或特征值）。进一步，可知x=“为方 程(4.20)解的充要条件是1为方程4.21)的根。 下面分两种情形进行讨论： 一，当特征根均是单根时：此时方程(4.21)的n个根均互异，于是方程(4.20)相应有 n个解e,.,e与之对应
67 z(t) = ϕ(t) + iψ (t) 是方程(4.2)的复值解，则 z(t) 的实部ϕ(t) 、虚部ψ (t) 和共轭函数 z(t) 也 都是方程(4.2)的解。 证明 把i 看成常数，由上节引理可知 L (z(t)) = L ( (t)) + iL ( (t)) = 0 n n ϕ n ψ ，注意到 L (x) n 系数均为实值函数，依据在一个复数等式中，等式两边实部和虚部应分别相等的原理，则有 (ϕ) = 0 Ln 和 (ψ ) = 0 Ln 。于是ϕ(t),ψ (t) 均为方程的解，由叠加原理可证明 z(t) 也是方程 的解。定理得证。 定 理 11 设 L (t) n 中 的系 数 ( ), , ( ) 1 a t a t L n 均 为区 间 [a,b] 上 的实 值连续 函数 ，若 z(t) = ϕ(t) + iψ (t) 是方程 ( ) ( ) ( ) 1 2 L x f t if t n = + (4.19) 的解，则ϕ(t) 和ψ (t) 分别方程 ( ) ( ) 1 L x f t n = 和 ( ) ( ) 2 L x f t n = 的解。这里 ( ) 1 f t 和 ( ) 2 f t 均 为区间上的实值函数。 定理 11 的证明留给同学作为练习。 2． n 阶常系数齐线性方程 考虑如下阶齐线性方程方程 ( ) 0 1 1 = + 1 + + = − − a x dt d x a dt d x L x n n n n n n L (4.20) 这里 n a , ,a 1 L 均为实常数，称方程(4.20)为n 阶常系数齐线性方程. 回忆前面的一阶常系数线性方程 ax dt dx = ，可知此方程通解为 at x ce = 形式。当然对于 方程(4.20)，我们试图观察其是否也有如此形式 t x e λ = 的解，这里λ 为待定参数。注意到 ( ) t n n t n n n L e a a a e λ λ = λ + λ + + − λ + − 1 1 1 ( ) L , 记 n n n n F = + a + + a + a − − λ λ λ 1λ 1 1 ( ) L . 对于方程 F(λ) = 0 (4.21) 称(4.21)为方程(4.20)的特征方程，其根称为特征根（或特征值）。进一步，可知 t x e λ = 为方 程(4.20)解的充要条件是λ 为方程(4.21)的根。 下面分两种情形进行讨论： 一．当特征根均是单根时: 此时方程(4.21)的n 个根均互异，于是方程(4.20)相应有 n个解 t t n e e λ λ , , 1 L 与之对应
计算它们的伏朗斯基行列式 e e 2e4. 2-e-e.ge 注意上式中用到范德蒙行列式，因此这个n解组构成方程(4.20)的一个基本解组。进一步， 我们可以写出方程(420)的通解表达式为 x(0=ce+.+c.e (4.22) 若，.，入n中出现复根1=《+所时，由于a,.,an均为实数，则由高等代数理论知 元=-所也是方程(4.2)的根。这两个根分别对应于方程(4.20)的两个复值解 e”=e“(cosM+isin B)和e=e“(cos-isinB),依据定理1l,知它们的实部 e“cosh和虚部e sin Bt均是方程(420)的解。也就是说当出现两个共轭复根 =+，元=a-时，则方程(420)相应有实解分别为e“cos和e“sinB,于是只 要在式子(4.22)中把e“和e“的位置用e“cosB和e sin Bt代之即可得到方程(4.20)的通 二.当特征根中有重实根时： 首先，目的是考虑特殊情形找到解的形式。设方程(4.2)有h(1≤h≤)重实根 元=A=0,所以(421)可以写成F()=F()=0,这里F()为元的n-h次多项式 且F(O)≠0，因此F()关于元的最低次数为h次，即 F()=P+a,-+.+an2+an中必有an=a=.=a-4l=0.此时4.20)应为如 下形式 4+0 dt" 显然易验证它有1,4，.，-这h个解，并且知它们是线性无关的，这样特征方程(4.21)的h重 零根就相对应于方程(4,20)的h个线性无关解1,1，。 其次，关键是作平移变换把一般情形化成上面的特殊情形。设方程(4.21)有h重实根入， 则F()=(-A)F()=0,这里F()为1的n-h次多项式，且F(2)≠0，令
68 计算它们的伏朗斯基行列式 ( ) ( ) 0 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 ∏ − ≠ ∑ = = ≤ < ≤ − − − = i j j i n n t n n t n t t n t t t t t n n i i n n n e e e e e e e e e e W t λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ L L L L L L L 。 注意上式中用到范德蒙行列式，因此这个n解组构成方程(4.20)的一个基本解组。进一步， 我们可以写出方程(4.20)的通解表达式为 1 1 ( ) n t t n x t c e c e λ λ = + + L (4.22). 若 λ λn , , 1 L 中出现复根 λ = α + βi 时，由于 n a , ,a 1 L 均为实数，则由高等代数理论知 λ = α − βi 也 是 方 程 (4.21) 的 根 。 这 两 个 根 分 别 对 应 于 方 程 (4.20) 的 两 个 复 值 解 e e ( t i t) t t β β λ α = cos + sin 和 e e ( t i t) t t β β λ α = cos − sin ，依据定理 11，知它们的实部 e t t β α cos 和 虚 部 e t t β α sin 均 是 方 程 (4.20) 的 解 。 也 就 是 说 当 出 现 两 个 共 轭 复 根 λ = α + βi,λ = α − βi 时，则方程(4.20)相应有实解分别为e t t β α cos 和e t t β α sin ，于是只 要在式子(4.22)中把 t e λ 和 t e λ 的位置用 e t t β α cos 和 e t t β α sin 代之即可得到方程(4.20)的通 解. 二．当特征根中有重实根时： 首先，目的是考虑特殊情形找到解的形式。设方程(4.21)有 h 1( ≤ h ≤ n) 重实根 λ = λ1 = 0 ，所以(4.21)可以写成 ( ) ( ) 0 F λ = λ F1 λ = h ，这里 ( ) F1 λ 为 λ 的 n − h 次多项式 且 F1 )0( ≠ 0 ， 因 此 F(λ) 关 于 λ 的 最 低 次 数 为 h 次 ， 即 n n n n F = + a + + a + a − − λ λ λ 1λ 1 1 ( ) L 中必有 0 an = an−1 = L = an−h+1 = .此时(4.20)应为如 下形式 ( ) 0 1 1 = + 1 + + − = − − h h n n h n n n n dt d x a dt d x a dt d x L x L 。 显然易验证它有 1 ,1 , h− t L t 这h 个解，并且知它们是线性无关的，这样特征方程(4.21)的h 重 零根就相对应于方程(4.20)的 h 个线性无关解 1 ,1 , h− t L t 。 其次，关键是作平移变换把一般情形化成上面的特殊情形。设方程(4.21)有h 重实根λ1， 则 ( ) ( ) ( ) 0 F λ = λ − λ1 F1 λ = h ，这里 ( ) F1 λ 为 λ 的 n − h 次多项式，且 F1 (λ1 ) ≠ 0 ，令
4=元-入，记G()=F(u+入)=uG,()。由于F()为关于元的n-h多项式且 F(0+元)=F()≠0，即有G,()也为4的n-h次多项式且有G,(O)=F(2)≠0. 因此F()=(几-2F()=0的h重实根元=元等价于特征方程G()=4G,()的h 重零根。综合上面的讨论思路，最后，我们采用直接方法给出。 设1≤l≤n,令x=te”,根据莱布尼兹公式有 yc(. 计算 L,e)=teyo+2ateym (F(A+IF(-(( 20 当=为特征方程(4.21)的h重实根时，则有F()=(-)F()=0,这里F()为 1的n-h次多项式且F()≠0，因此易知F()=F()=.=F-()=0且 F()≠0.于是有 Ln(e)=e.0=0,.,Ln(-e4)=e.0=0,Ln(te)=e.F(a)≠0， 这表明e4,te,.,t-e为方程(4.20)的h个线性无关解。 进一步，当特征方程(4.21)有m个不同的实根，2，其重数分别为 川，几2，.，nm，且m+n2+.+nm=n时，这时方程(420)有下列n个解 e,te,.,-e; e,e,.,-e4 ed,le,.,t.-e. 进一步，我们不加证明的指出这n个解构成方程(4.20)的一个基本解组。 三.当特征方程(4.21)冲有h重复根入=：+B时，注意到特征方程(421)的系数均为实数 ,则复特征根必与其共轭复根无=：一伍成对出现，因此按重数计入与万共有2h个。类似
69 µ = λ − λ1，记 ( ) ( ) ( ) G µ µ F1 µ λ1 µ G1 µ h h = + = 。由于 ( ) F1 λ 为关于λ 的n − h 多项式且 F1 0( + λ1 ) = F1 (λ1 ) ≠ 0 ，即有 ( ) G1 µ 也为 µ 的 n − h 次多项式且有G1 )0( = F1 (λ1 ) ≠ 0。 因此 ( ) ( ) ( ) 0 F λ = λ − λ1 F1 λ = h 的 h 重实根λ = λ1 等价于特征方程 ( ) ( ) G µ µ G1 µ h = 的 h 重零根。综合上面的讨论思路，最后，我们采用直接方法给出。 设1 ≤ l ≤ n ，令 l t x t e λ = ，根据莱布尼兹公式有 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) l k t m k m k k m l t m t e C t e − = = ∑ λ λ ， 计算 ( ) ( ) ( )) 2! ( )1 ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 ( )1 ( ) ( ) 1 ( ) λ λ λ λ λ λ λ λ λ t l l l l l l t n i n i i l t l t n n F t lF t F ll e F t Fl t L t e t e a t e ′′ + + + − = + ′ + = + − − − − = ∑ L 。 当λ = λ1为特征方程(4.21)的h 重实根时，则有 ( ) ( ) ( ) 0 F λ = λ − λ1 F1 λ = h ，这里 ( ) F1 λ 为 λ 的 n − h 次多项式且 F1 (λ1 ) ≠ 0 ，因此易知 ( ) ( ) ( ) 0 1 ( )1 1 = ′ 1 = = = − λ λ λ h F F L F 且 ( ) 0 1 ( ) λ ≠ h F .于是有 ( ) 0 ,0 , ( ) 0 ,0 ( ) ( ) 0 1 1 ( ) 1 1 1 1 1 1 = ⋅ = = ⋅ = = ⋅ ≠ − λ λ λ λ λ h λ t λ t h n h t t n t t Ln te e L L t e e L t e e F ， 这表明 t t h t e te t e 1 1 1 1 , , , λ λ L − λ 为方程(4.20)的h 个线性无关解。 进 一 步 ， 当 特 征 方 程 (4.21) 有 m 个 不 同 的 实 根 λ λ λ m , , , 1 2 L ， 其 重 数 分 别 为 m n , n , ,n 1 2 L ，且n n n n 1 + 2 +L+ m = 时，这时方程(4.20)有下列n 个解 t t n t e te t e 1 1 1 1 1 , , , λ λ L − λ ; t t n t e te t e 2 2 2 1 2 , , , λ λ L − λ ; .; mt mt nm mt e te t e λ λ 1 λ , , , L − . 进一步，我们不加证明的指出这n 个解构成方程(4.20)的一个基本解组。 三．当特征方程(4.21)中有h 重复根λ = α + βi 时，注意到特征方程(4.21)的系数均为实数 ,则复特征根必与其共轭复根λ = α − βi 成对出现，因此按重数计λ 与λ 共有 2h 个。类似
上面讨论可知方程(4.20)有如下2h个线性无关解： e cos B,te cosre cos Be sin Br,te sin Br.e sin B 只要用这些解代之二中相应位置即可构成方程(4.20)的基本解组。为了方便记忆和应用，现 将方程(4.20)的解与特征方程(4.21)的特征根对比如下表： 方程(4.20 特征方程(4.21少 dx +ax=0 F()=2"+a2-+.+an-+an=0 e是方程(4.20)的解 是特征方程(4.21)的特征根 e“是方程(4.20)的实解： 2是特征方程(4.21)的单实根； 2=Q+i是特征方程(421)的单复根 ecosm,e sin是方程(4.20)的两个实解 (其中万=α-所也是它的复根) e“,1e”,.,1-e”是方程(4.20)的h个线性无关 入是特征方程(421)的h重实根： 解： 1=a+i是特征方程(421)的h重复 e"cosm,1e"cos,.,-e cos Br和 根，则元=-也是它的h重复 esin Bt,le“sin,.,-e“sin是方程 (4.20)的2h个线性无关解 于是方程(4.20)的实通解为其特征方程4.21)所有的特征根相应于(4.20)实解的线性组合。 倒3求方程-x=0的通解 d 解特征方程-1=0有两个单实根入=-1，入2=1和两个共轭复根乙=-，入=i,因 此方程的通解为 x=ce +ce +C:cost+c sint, 这里G,C2,C,C4为任意常数。 例4求方程+x=0的通解 dt 、解特征方程龙1上0有单实根么=一1和共轭复根入=？-/号，名=+少 2
70 上面讨论可知方程(4.20)有如下2h 个线性无关解： e tet t t e t e tet t t e t t t h t t t h t β β β β β β α α α α α α cos , cos , , cos sin , sin , , sin L −1 和 L −1 . 只要用这些解代之二中相应位置即可构成方程(4.20)的基本解组。为了方便记忆和应用，现 将方程(4.20)的解与特征方程(4.21)的特征根对比如下表： 方程(4.20): ( ) 0 1 1 1 = + 1 + + − + = − − a x dt dx a dt d x a dt d x L x n n n n n n n L 特征方程(4.21): 1 1 1 ( ) 0 n n F a a a λ λ λ λ n n − = + + + + = L − t e λ 是方程(4.20)的解 λ 是特征方程(4.21)的特征根 t e λ 是方程(4.20)的实解； e t e t t t β β α α cos , sin 是方程(4.20)的两个实解 λ 是特征方程(4.21)的单实根； λ = α + βi 是特征方程(4.21)的单复根 （其中λ = α − βi 也是它的复根） t t h t e te t e λ λ 1 λ , , , L − 是方程(4.20)的 h 个线性无关 解； e tet t t e t t t h t β β β α α α cos , cos , , cos L −1 和 e tet t t e t t t h t β β β α α α sin , sin , , sin L −1 是 方 程 (4,20)的2h 个线性无关解 λ 是特征方程(4.21)的h 重实根； λ = α + βi 是特征方程(4.21)的 h 重复 根，则 λ = α − βi 也是它的 h 重复根 于是方程(4.20)的实通解为其特征方程(4.21)所有的特征根相应于(4.20)实解的线性组合。 例 3 求方程 0 4 4 − x = dt d x 的通解. 解 特征方程 1 0 4 λ − = 有两个单实根λ1 = − ,1 λ2 = 1和两个共轭复根 = −i = i 3 4 λ ,λ ，因 此方程的通解为 1 2 3 4 cos sin t t x c e c e c t c t − = + + + ， 这里 1 2 3 4 c c c c , , , 为任意常数。 例 4 求方程 0 3 3 + x = dt d x 的通解. 解 特征方程 1 0 3 λ + = 有单实根λ1 = −1和共轭复根 2 3 2 1 , 2 3 2 1 2 3 λ = − i λ = + i ，因此