《泛函分析》课程教学资源（授课教案讲义，共十七讲）

映上的 2对于两个距离空间化，d),(化，d)如果存在一个映上的等距映射，了： X→X,则称(K,d)与(K,d)等距

9 映上的. (2)对于两个距离空间 X,d，  1 1 X ,d ，如果存在一个映上的等距映射， f ： X  X1，则称 X,d 与   1 1 X ,d 等距

第二讲距离空间中的点集 教学目的 掌握距离空间中开集、闭集的定义和性质：学握接触点、闭包、极限点、稠 密、可分的定义， 敕学要点 1对空间稠密、可分定义的理解 2几个常见空间的可分性 复习旧课 空间R”、Ca,b]和空间S中距离的定义 进行新课 一开集与闭集 定义1设(X,d)是一个距离空间，记 Sxo,r）=女∈X:dx,xo)kr 其中r>0是一个实数，称S,为以x为中心，r为半径的开球 注对于空间R,开球Sk,)是直线上一个以x,为中心，r为半径的开区间 讲解习题在距离空间中，一个半径为4的开球能否成为一个半径为3的开 球的真子集？ 取距离空间为Y-(2,4)cR,定义x,yeY,d(x,y)=k-,Y=S,3, 在Y中取一个开球S3,4)=（1,4④)c（2,4) 注5xo,）={eX:dx,xo)sr小闭球 定义2设Ac(X,d),若3开球sk。,x)PA,则称A为有界集 定义3设Gc(K,d),x,eG,如果存在某一开球Sk,）使得S,r)cG (>0),则称，为G的内点，若G的每一点都是G的内点，则称G为开集 结论开球为开集 0

10 第二讲 距离空间中的点集 教学目的 掌握距离空间中开集、闭集的定义和性质；掌握接触点、闭包、极限点、稠 密、可分的定义. 教学要点 1 对空间稠密、可分定义的理解； 2 几个常见空间的可分性. 复习旧课 空间 R n 、 C[a, b]和空间 S 中距离的定义 进行新课 一 开集与闭集 定义 1 设 X , d  是一个距离空间，记 Sx0 ,r  x X : dx, x0   r, 其中 r  0 是一个实数，称 Sx ,r 0 为以 0 x 为中心， r 为半径的开球. 注 对于空间 1 R ，开球 Sx ,r 0 是直线上一个以 0 x 为中心， r 为半径的开区间. 讲解习题 在距离空间中，一个半径为 4 的开球能否成为一个半径为 3 的开 球的真子集？ 取距离空间为 Y   2,4  R ，定义 x, y Y ， dx, y  x  y ，Y  S 1, 3， 在 Y 中取一个开球 S 3,4   1, 4   2, 4. 注 Sx0 ,r  x X : dx, x0   r ，闭球. 定义 2 设 A  X ,d  ，若  开球 Sx0 , x  A ，则称 A 为有界集. 定义 3 设 G  X ,d ， x0 G ，如果存在某一开球 Sx ,r 0 使得 Sx0 ,r G r  0 ，则称 0 x 为 G 的内点，若 G 的每一点都是 G 的内点，则称 G 为开集. 结论 开球为开集

设开球Sx,x)c(X,d),下证Sx,r)为开集.x∈Sx,),下证为Sx,r) 的内点.取=r-d北，yeS,由于 d(y.xo)sd(y.x)+d(x.xo)<r+d(x.xo)=r-d(x,xo)+d(x.xo)=r. 所以yeS(xo,r）.由于y为Sx,)中的任一点，故S(x,)cSxo,r), 从而x为S(k,)的内点.故Sk,r)为开集 定义4称Sx,)为x。的一个球领域 定理1距离空间K,d),则X中的开集具有如下基本性质： 1)全空间X与空集②是开集： 2)任意个开集的并集是开集： 3)任意有穷多个开集的交集是开集】 例4-（周 无穷多个开集的交集不一定是开集，如：个4.=0)是 闭集 定义5设Ac(X,d),∈X,若E>0,有 Sxo,E)∩A≠☑， 则称x。为A的一个接触点。A的接触点的全体称为A的闭包，记为A.易见A中 的点都是A的接触点，不属于A的点也可能是A的接触点，即ACA 定理2设A,B是距离空间X的子集，则 1)Ac7; 2)A=A: 3)AUB=AUB; 4)⑦=0 定义6设Ac(K,d),若A=A,则称A为闭集 结论开集的余集是闭集，闭集的余集是开集

11 设开球 Sx , x X ,d 0  1 ，下证 Sx ,r 0 为开集. x Sx ,r   0 ，下证 为 Sx ,r 0 的内点. 取   0 0 r  r  d x, x ，   0 y S x,r , 由于 dy x  dy x dx x  r  dx x   r  dx x  dx x   r 0 0 0 0 0 0 , , , , , , , 所以 y Sx ,r  0 . 由于 y 为   0 S x,r 中的任一点，故 Sx,r  Sx ,r 0  0 , 从而 x 为 Sx ,r 0 的内点. 故 Sx ,r 0 为开集. 定义 4 称 Sx ,r 0 为 0 x 的一个球领域. 定理 1 距离空间 X,d ，则 X 中的开集具有如下基本性质： 1）全空间 X 与空集  是开集； 2）任意个开集的并集是开集； 3）任意有穷多个开集的交集是开集. 例         n n An 1 , 1 无穷多个开集的交集不一定是开集，如： 0 1     n An 是 闭集. 定义 5 设 A  X ,d ， x0  X ，若   0 ，有 Sx0 , A   , 则称 0 x 为 A 的一个接触点. A 的接触点的全体称为 A 的闭包，记为 A . 易见 A 中 的点都是 A 的接触点，不属于 A 的点也可能是 A 的接触点，即 A  A . 定理 2 设 A,B 是距离空间 X 的子集，则 1） A  A ； 2） A A ； 3） A B  A B ； 4）    . 定义 6 设 A  X ,d  ，若 A  A ，则称 A 为闭集. 结论 开集的余集是闭集，闭集的余集是开集

证)设Ac(X,d)为开集，下证A的余集是闭集.(AC是闭集) 即证AF=A,即证AC接触点的全体就是A,下排除A中的点不是AC的接触 点.x。∈A,由于A为开集，所以r,>0使得 S(o)cA. Sxo,n门Af=0 由接触点的定义，故x,不是AF的接触点由x,的任意性知A中的点不是AF的 接触点.故AC的所有接触点只能来自于A,即F=A,故A为闭集 )设Ac(X,d)为闭集，即A=A,下证A为开集.x。∈A,下证x为A的 内点.由A=A知x不是A的接触点.否则x,∈A=A与x,∈AC矛盾.故，>0 使得Sx,)门A=,从而Sx,n)cAF.所以x为A的一个内点.由x的任 意性知A中的点均为内点，则A为开集 De Morgan公式（德.摩根） A)-D4 (04-U 定理3设(X,d),则 1)全空间X及空集⑦是闭集： 2)任意个闭集的交集是闭集： 3)任意有穷闭集的并集是闭集 证1)因为是开集，所以X=@是闭集 2)设{4}为一簇闭集，则 ∩4=∩x-A)）-X-UA

12 证 i) 设 A  X ,d  为开集，下证 A 的余集是闭集.（ C A 是闭集） 即证  c A C A ，即证 C A 接触点的全体就是 C A ，下排除 A 中的点不是 C A 的接触 点. x0  A ，由于 A 为开集，所以 r0  0 使得 Sx0 ,r0  A. 故   C S x0 ,r0  A   . 由接触点的定义，故 0 x 不是 C A 的接触点.由 0 x 的任意性知 A 中的点不是 C A 的 接触点. 故 C A 的所有接触点只能来自于 C A ，即  c A C A ，故 C A 为闭集. ii) 设 A  X ,d  为闭集，即 A  A ，下证 C A 为开集. x0  C A ，下证 0 x 为 C A 的 内点. 由 A  A 知 0 x 不是 A 的接触点. 否则 x0  A  A 与 C x0  A 矛盾. 故 r0  0 使得 Sx0 ,r0 A  ，从而   C S x0 ,r0  A . 所以 0 x 为 C A 的一个内点. 由 0 x 的任 意性知 C A 中的点均为内点，则 C A 为开集. De Morgan 公式（德. 摩根）   I C C A I             A ,   I C C A A I              . 定理 3 设 X,d ，则 1）全空间 X 及空集  是闭集； 2）任意个闭集的交集是闭集； 3）任意有穷闭集的并集是闭集. 证 1）因为  是开集，所以 C X   是闭集. 2) 设 Ai 为一簇闭集，则     i C i i C i i Ai  X  A  X  A

由于A为闭集，故4为开集，由定理2知U4为开集，从而X-U4,为闭集 即∩4为闭集 3)设4}1=12，为闭集，04-00r-4）=X-个4，而门4为 开集，从而X-个4为闭集 二稠密子集，可分距离空间 定义1设A,Bc(X,d),如果BA,称B在A中稠密，即∈A, c>0,yeB使得d0kE或xe40.}cB,使得 d6nx)→0，n→0. B在A中不稠密台3x∈A,36。>0,y∈B有 d,2e或s0,nB=0. 定义2设(X,d)为一距离空间，如果X中存在一个稠密可数子集，则称X是 可分的.若Ac(K,d),如果X中存在可数子集B,使得B在A中稠密，则称A是 可分的. 例1R”是可分的 证R”中坐标为有理数的点的集合记为A,则A是稠密可数的.由于A是R” 的子集，所以是可分的。 例2Ca,是可分的 A表示多项式的全体，B为有理数组成的多项式的全体 xteC[a,b]e>0,pt)∈A,使得 dlrt),pt)<号 对于p0),3g0)eB,使得

13 由于 Ai 为闭集，故 C Ai 为开集，由定理 2 知  i C Ai 为开集，从而 X   i C Ai 为闭集， 即  i Ai 为闭集. 3) 设 Ai i 1,2,  ,n ，为闭集，    n i C i n i Ai X A 1 1    n i C X Ai 1   ，而  n i C Ai 1 为 开集，从而  n i C X Ai 1  为闭集. 二 稠密子集，可分距离空间 定义 1 设 A,B  X,d  ，如果 B  A ，称 B 在 A 中稠密，即 x A ，   0, y  B 使得 dy, x  或 x  A, y n  B ，使得 dyn , x 0 , n  . B 在 A 中不稠密  x  A,  0  0,y  B 有 d y,x    或 S x, 0  B  . 定义 2 设 X,d 为一距离空间，如果 X 中存在一个稠密可数子集，则称 X 是 可分的. 若 A  X ,d  ，如果 X 中存在可数子集 B ，使得 B 在 A 中稠密，则称 A 是 可分的. 例 1 n R 是可分的. 证 n R 中坐标为有理数的点的集合记为 A，则 A 是稠密可数的. 由于 A 是 n R 的子集， 所以 n R 是可分的. 例 2 Ca,b 是可分的. A 表示多项式的全体， B 为有理数组成的多项式的全体. xt  C[a,b]   0, p(t)  A ，使得   2 ( ), ( )  d x t p t  . 对于 pt，qt B ，使得