《泛函分析》课程教学资源（授课教案讲义，共十七讲）

-2上-网-k网 拉拉 上述右边=dx,)+d(,).即d,)≤d北，x)+d(,)成立 该距离空间记为s(小写s)· 例4空间S.设EcR是一个Lebesgue可测集，0<m(E)<o,考虑E上几 乎处处有穷的可测函数全体，其中凡几乎处处相等的函数看成是同一元，定义 0 验证：1)，2)显然成立 3)利用例3证明即可得出. 把上述空间记为S 例5离散空间D.设X是任一非空集，在X中定义d如下 啡以=0=5 山，x≠八 验证：条件1)，2)，3)显然成立 定义2设：}是距离空间(X,)中的一个点列，x是X中的一点.如果当 n→o时，d(xn,x)→0，则称当n→o时，在a}以x为极限，或当n→o时， 在}收敛于x。,记为 xn→x0,n→0， 或 limx=xo. &-N语言：6>0，N,stn>N时成立d,x)<6 极限的性质 定理1设x}是距离空间X中的收敛点列，则

4 k k k k k k k k                2 1 1 1 k k k k k k k k                2 1 1 1 k k k k k            2 1 1 1 k k k k k k k            2 1 1 1 . 上述右边  dx,z dz, y.即 d x,y   d z,x   d z,y  成立. 该距离空间记为 s（小写 s）. 例 4 空间 S. 设 E  R 是一个 Lebesgue 可测集， 0  mE   ，考虑 E 上几 乎处处有穷的可测函数全体，其中凡几乎处处相等的函数看成是同一元，定义           dt x t y t x t y t d x y E     1 , . 验证：1），2）显然成立. 3）利用例 3 证明即可得出. 把上述空间记为 S 例 5 离散空间 D. 设 X 是任一非空集，在 X 中定义 d 如下：         1, . 0, , , x y x y d x y 验证：条件 1），2），3）显然成立. 定义 2 设 xn  是距离空间 X,d 中的一个点列， 0 x 是 X 中的一点. 如果当 n   时， dxn , x0  0 ，则称当 n   时， xn  以 0 x 为极限，或当 n   时， xn  收敛于 0 x ，记为 0 x x n  , n   , 或 0 lim x x n n   .  - N 语言：   0, N , s.t n  N 时成立     d x n, x 0 . 极限的性质 定理 1 设 xn  是距离空间 X 中的收敛点列，则

1){x}的极限是唯一的： 2)如果是任n的极限，那么x}的任一子列{区}必收敛且以x为极限 证1)设xn→xo,y。→，n→0.则对6>0,3N,当n>N时，有 dlx)<a)<号 由三角不等式，当n>N时 d(xo:yo)sd(x.%)+d(y:vo)<s. 由于ε是任意的，所以 d(xo,yo)=0,xo=Yo 2)由1imxn=xo,知N,当n>N时有d。,x)<E,选取K(K>N),使 得当k>K时，m>N.则当k>K时，x)<6,即x→k→可)故 lim x xo. 定理2设(X,d)是距离空间，则 ,-sd,)+小(k,y.x.yEX) 证分析，即证 -,+d0,》sdl月-dsdl,x)+d,). 由三角不等式知 右边 dx,y)sdx,x)+d,y） ≤d,x)+d,y)+d,y) d(x.y)-d(x.y)sd(x.x)+d(v.y) 左边即证 d(x.y)sd(x.y)+d(x.x)+d(y.y) 由三角不等式知

5 1） xn  的极限是唯一的; 2）如果 0 x 是 xn  的极限，那么 xn  的任一子列   nk x 必收敛且以 0 x 为极限. 证 1） 设 x n  x 0 , y n  y 0， n   . 则对   0,N, 当 n  N 时，有     2 , , 2 , 0 0   d x n x  d y n y  . 由三角不等式，当 n  N 时        0 0 0 0 d x , y d x , x d y , y n n . 由于  是任意的，所以 dx0 , y0   0， 0 0 x  y . 2) 由 0 lim x x n n   ，知 N ，当 n  N 时有     d x n ,x 0 ，选取 KK  N, 使 得当 k  K 时， nk  N . 则当 k  K 时，     d x nk ,x 0 ，即 x  x k   k n ,0 故 lim x nk x 0 k   . 定理 2 设 X,d 是距离空间，则         1 1 1 1 d x,y  d x ，y  d x,x  d y,y ，x y x y  X  1 1 , , , 证 分析，即证 - d ,   ,   ,   ,   ,   ,  . 1 1 1 1 1 1 x x  d y y  d x y  d x y  d x x  d y y 由三角不等式知 右边        ,   ,   ,  . , , , 1 1 1 1 1 1 d x x d x y d y y d x y d x x d x y      故 dx, y dx , y  dx , x dy , y  1 1  1  1 . 左边即证         1 1 1 1 d x , y  d x, y  d x, x  d y, y . 由三角不等式知

dx,y)≤d,x)+d(,y) ≤dx,x)+dx,y)+d6y,y) 常见距离空间中收敛性 )R"中点列收敛就是按坐标收敛 x0∈R”x=9,x9,x}k=12.,。=名，0，x} 若x→0，k→0，当且仅当x→x,k→，=l,2,n 证必要性.因为x→xk→)，所以 dk,x)→0，k→0. 即 -y月0.k→m 有 x侧→xo,k→0 充分性.从必要性的最后一步依次逆推即可得出结论， 2)Ca,中点列收敛就是函数列在[a,上的一致收敛 证必要性.设》cCa,小，x,)eCa,.若 x0→x),n→0， 则 dxxt)→0，n→o. x)-x)→0，n→o 即e>0,3N,当n>N时，有 m()-x.()<c 从而te点小，有

6       1 1 1 1 d x , y  d x , x  d x, y       1 1  d x , x  d x, y  d y, y . 常见距离空间中收敛性 1) n R 中点列收敛就是按坐标收敛. n x k ,x 0  R         k n k k k x x , x , , x  1 2  , k 1,2,  ,         0 0 2 0 0 1 , , , n x  x x  x , 若 0 x x k  , k   , 当且仅当 0 i i k x  x ，k  , i=1,2, ., n. 证 必要性. 因为 0 x x k  k   ，所以  ,  0 d xk x0  ，k  . 即       0 2 1 1 2 0           n i i k i x x , k  . 有   0 i k i x  x , k  . 充分性. 从必要性的最后一步依次逆推即可得出结论. 2) Ca,b 中点列收敛就是函数列在 a,b 上的一致收敛. 证 必要性. 设 x t Ca b n  , ， x t Ca,b 0  . 若 x t x t n  0 , n   ， 则 d x n t, x 0 t  0, n   . 即   max   0   0 ,    x t x t n t a b , n   . 即   0 ，N ，当 n  N 时，有          x t x t n t a b 0 , max . 从而 t  a, b ，有

x0)-x,)≤mar)-x<ε 即{x)》在[a,b上一致收敛于x) 充分性.设{x0}在a,b]上一致收敛于xo(t).则e>0,存在自然数N,对 -切t∈[a,b,当n>N时成立 Ixn (t)-xo(t)I<E. 于是 maxtelabln (t)-xo(t)<g. 即n>N时成立 d(xn,xo)<E. 所以 limn→ooxn=Xo. 证毕 3)空间S中的点列收敛等价于函数列依测度收敛. 设x,→xo,n→0，(x,∈S,x。∈S)则（注意依测度收敛的定义） i)若xn→xo,n→，则 t- x0-x) ka心i+0-0 i子 =千smteE:b0.)-x小>0 因此 eE:x)-x>6}=0 i)反之，设{x)》在E上依测度收敛于x,),则对ε>0及6>0.由于 68

7                x t x t x t x t n t a b n 0 , 0 max . 即 xn t 在 a,b 上一致收敛于 x t 0 . 充分性. 设{xn(t) }在[a, b]上一致收敛于 𝑥0(𝑡). 则 ∀ε > 0, 存在自然数 N, 对 一切t ∈ [a, b], 当n > N时成立 |𝑥𝑛 (t) − 𝑥0 (t)| < ε. 于是 max𝑡∈[𝑎,𝑏] |𝑥𝑛 (𝑡) − 𝑥0 (𝑡)| < 𝜀. 即 n > N时成立 d(𝑥𝑛, 𝑥0 ) < ε. 所以 lim𝑛→∞ 𝑥𝑛 = 𝑥0. 证毕 3) 空间 S 中的点列收敛等价于函数列依测度收敛. 设 0 x x n  , n  ，x S x S n  , 0  则 (注意依测度收敛的定义) i) 若 0 x x n  , n   ，则           dt x t x t x t x t d x x E n n n      0 0 0 1 ,               dt x t x t x t x t t E x t x t n n n         : 0  0 0 1       dt t E x t x t n          0 : 1  :      0 1   0        m t E x t x t n . 因此  :      0 m t  E x n t  x 0 t    . ii) 反之，设 xn t 在 E 上依测度收敛于 x t 0 ，则对   0 及   0 . 由于           dt x t x t x t x t d x x E n n n      0 0 0 1

-wwwi0+0-可 x()-x( x()-x() s平54间-a网1 =f6mE)+eEk0-01》. 先选取6，使后M)宁再对上述6选取N,使得a>N时， meE:k.同-≥6》<5 于是当n>N时， l小k+号=e 即 d(xn,x)→0，n→ 4)在离散空间中，{x收敛于x,当且仅当，从某一下标开始{x}为常驻列} 注f0)在t,连续台e>0,36>0,1,当k-s6时恒有 /0)-ft<e 三距离空间的连续映射等距映射 设(X,d),(K,d)是距离空间，f:X→X是一个映射，x。∈X,如果 s>0,36>0使得满足d(x,x,)≤6的一切x∈X,有 d,(rx)fx,》<e, 则称映射∫在x。点连续.如果∫在X上每一点连续，则称∫在X上连续.如果 Vx,yEX, drxf》=dx,y) 则称∫为等距映射」 药 (山)一个等距映射一定是一个连续映射，并且是一个一一映射，但不一定是 8

8                             dt x t x t x t x t dt x t x t x t x t t E x t x t n n t E x t x t n n n n                 0  : 0  0 0 : 0 0 1 1         m E dt t E x t x t n           0 : 1 1                 m E m t E x t x t n 0 : 1 , 先选取  ，使   1 2      m E ，再对上述  选取 N ，使得 n  N 时，       2 : 0  m t  E xn t  x t    . 于是当 n  N 时，         2 2 , 0 d x x n . 即 dxn , x0  0, n   . 4) 在离散空间中， xn  收敛于 0 x ，当且仅当，从某一下标开始 xn  为常驻列 x0 . 注 f t 在 0 t 连续    0 ，  0 ，t ，当 t  t 0   时恒有       0 f t f t . 三 距离空间的连续映射 等距映射 设 X,d，  1 1 X ,d 是距离空间， f ： X  X1 是一个映射， x0  X ，如果   0 ，  0 使得满足 dx, x0    的一切 x  X ，有        d 1 f x , f x 0 , 则称映射 f 在 0 x 点连续. 如果 f 在 X 上每一点连续，则称 f 在 X 上连续. 如果 x, y  X ， d f x , f y  d x,y  1  , 则称 f 为等距映射. 注 (1) 一个等距映射一定是一个连续映射，并且是一个一一映射，但不一定是