西安电子科技大学：《高等代数》课程PPT教学课件（讲稿）第五章 二次型 5.2 标准形

3) a =az =....=ain =0.由对称性，a21=a31=...=an=0.即 (x,x2,,x)-22ajxxj.i=2 i-2这是一个n一1元二次型，由归纳假设，结论成立总之，数域P上任一二次型都可经过非退化线性替换化成平方和的形式。85.2标准形A

§5.2 标准形 这是一个n－1元二次型，由归纳假设，结论成立. 总之，数域P上任一二次型都可经过非退化线性 替换化成平方和的形式. 即 1 2 2 2 ( , , , ) . n n n ij i j i j f x x x a x x = = =   21 31 1 0. n a a a = = = = 3） a a a 11 12 1 = = = = n 0. 由对称性

2、二次型的标准形的定义二次型f(x,xz..,x,）经过非退化线性替换所变成的平方和形式dy'+dy?+..+dyn称为f(xi,x2,,x,)的一个标准形注：1）由定理1任一二次型的标准形是存在的.2）可应用配方法得到二次型的标准形85.2标准形区区

§5.2 标准形 2、二次型的标准形的定义 所变成的平方和形式 注：1）由定理1任一二次型的标准形是存在的. 2）可应用配方法得到二次型的标准形. 2 2 2 1 1 2 2 n n d y d y d y + + + 二次型 f x x x ( , , , ) 1 2 n 经过非退化线性替换 称为 的一个标准形. 1 2 ( , , , ) n f x x x

例1、求f(x,X2,xg)=2xx2-6x+2x的标准形解：作非退化线性替换xi= yi+y2Xi-(69))即,X2X2=yi-y2X3LXg=y3则 f(xi,x2...,xn) = 2(y1 + y2)(y1 - y2) -6(y1 - y2)y3+2(y1 + y2)y3=2y? -2y22-4yiy3 +8y2y3=2(y1-ys)~ -2y3 -2y2 +8y2J3$5.2标准形区区

§5.2 标准形 则 解：作非退化线性替换 222 1 3 3 2 2 3 = − − − + 2( ) 2 2 8 y y y y y y 2 2 1 2 1 3 2 3 = − − + 2 2 4 8 y y y y y y 1 2 3 + + 2( ) y y y 1 2 1 2 1 2 1 2 3 ( , , , ) 2( )( ) 6( ) n f x x x y y y y y y y = + − − − 1 1 2 2 3 3 1 1 0 1 1 0 0 0 1 x y x y x y           = −               即, 1 1 2 2 1 2 3 3 x y y x y y x y  = +   = −  =  例1、求 1 2 3 1 2 2 3 1 3 f x x x x x x x x x ( , , ) 2 6 2 = − + 的标准形

zi = y1- y3yi= Zi + z3再令或Z2 = y2y2 = Z2(3 = Z3Z3 = J3-68以即,Q0V则 F(x1,X2,.,x,)=2z2 -2z,2 -2z3 +8z23= 2z) - 2(z2 -2z3)° +8z32 -2z3= 2z2 - 2(z2 -2z3)° + 6z32W, = Z1Zi = WiWz=z2-2z3或Z2 = W, + 2W3最后令人[W3 = Z3[ Z = W385.2标准形

§5.2 标准形 2 2 2 1 2 3 3 = − − + 2 2( 2 ) 6 z z z z 2 2 2 2 1 2 3 3 3 = − − + − 2 2( 2 ) 8 2 z z z z z 或 1 1 2 2 3 3 3 2 z w z w w z w  =   = +  =  最后令 1 1 2 2 3 3 3 2 w z w z z w z  =   = −  =  则 222 1 2 1 2 3 2 3 ( , , , ) 2 2 2 8 n f x x x z z z z z = − − + 1 1 2 2 3 3 1 0 1 0 1 0 0 0 1 y z y z y z           =               即, 或 1 1 3 2 2 3 3 y z z y z y z  = +   =  =  再令 1 1 3 2 2 3 3 z y y z y z y  = −   =  = 

则 F(x1,X2,x3)=2w2-2w2 +6w所作的非退化线性替换是(-(-(690)X-(-6)w.X =W +W, +3W3即3 x,=Wi-W2-W3X=W3$5.2标准形区区

§5.2 标准形 所作的非退化线性替换是 即 1 1 2 3 2 1 2 3 3 3 x w w w3 x w w w x w  = + +   = − −  =  1 2 3 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 2 0 0 1 0 0 1 0 0 1 w w w      = −                1 2 3 1 1 3 1 1 1 0 0 1 w w w    = − −          1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 x y z x y z x y z                  = − = −                            222 1 2 3 1 2 3 则 f x x x w w w ( , , ) 2 2 6 = − +