例2 证明 lim C = C,(C为常数)x-→xo证任给ε>0，任取>0，当0<x-xl<8时，If(x)-A =C-Cl =0 <ε成立, :. lim C=C.x→xo例3证明 lim x=Xo.x-→xo证 ：[f(x)-A=x-xo，任给>0，取=8,当0<x-xl<8=时,... lim x= xo.f(x)-A=x-xo<ε成立,x-→xo福经济数学微积分
例 2 lim , ( ). 0 证明 C C C为常数 x x = → 证 f ( x ) − A = C − C 成立 , 任给 0 , = 0 lim . 0 C C x x = → 任取 0 , 0 , 当 x − x0 时 例 3 lim . 0 0 x x x x = → 证明 证 ( ) , x A x x0 f − = − 任给 0 , 取 = , 0 , 当 x − x0 = 时0 f (x) − A = x − x 成立, lim . 0 0 x x x x = →
22证明lim例4.2x→1 x-1证函数在点x=1处没有定义x2?:f(x) -A=2=x-任给ε>0,x-1只要取8=8,要使|f(x)-A<8,2北当0<xxl<时，就有< &.x-1x2.. limx-1x-1经济数学微积分
例4 2. 1 1 lim 2 1 = − − → x x x 证明 证 2 1 1 ( ) 2 − − − − = x x f x A 任给 0, 只要取 = , 0 , 当 x − x0 时 函数在点x=1处没有定义. = x − 1 要使 f (x) − A , 2 , 1 1 2 − − − x x 就有 2. 1 1 lim 2 1 = − − → x x x
例5证明：当x>0时,lim ~x=√xx→xox-x证 :f(x)-A=Vx-/xo<X任给ε>0,要使Lf(x)-A<,只要x-x|</x,且不取负值.取=min[xo,x,8}当0<x-xl<8时，就有/x-/x。<8,.. lim /x = /x.x→xo经济数学微积分
例 5 lim . 0 0 x x x x = → 证 0 f (x) − A = x − x 任给 0 , min{ , }, 0 0 取 = x x 0 , 当 x − x0 时 0 0 x x x x +− = 要使 f (x) − A , , 0 就有 x − x , 0 0 x x − x . 只要 x − x0 x0 且不取负值 : 0 , lim . 0 0 0 x x x x x = → 证明 当 时
3.单侧极限(one-sided limit)：V例如,y=1-xx<01-x,设 f(x)=x2 + 1,x≥0y=x2+1证明lim f(x)=1.0xx-0分x>0和x<0两种情况分别讨论x从左侧无限趋近xo，记作x→x。;x从右侧无限趋近xo，记作x→x;微积分经济数学
3.单侧极限(one-sided limit): 例如, lim ( ) 1. 1, 0 1 , 0 ( ) 0 2 = + − = → f x x x x x f x x 证明 设 分x 0和x 0两种情况分别讨论 , x从左侧无限趋近x0 ; 0 − 记作x → x , x从右侧无限趋近x0 ; 0 + 记作x → x y o x 1 y = 1 − x 1 2 y = x +
左极限V>0,8>0,使当x。-<x<x,时恒有)f(x)- A<ε. (left-hand limit)记作 lim f(x)= A 或 f(x)= A.x-→xo>0,>0,使当x<<x+时右极限恒有|f(x)- A< ε. (right-hand limit)记作 lim f(x)= A 或 f(xo*)= A.x-→>xt注意:{x0<x-x<8)=(x0<x-x <8)U(x8<x-x <0华经济数学微积分
左极限 ( ) . 0, 0, , 0 0 − − f x A x x x 恒有 使当 时 右极限 ( ) . 0, 0, , 0 0 − + f x A x x x 恒有 使当 时 { 0 } { 0} :{ 0 } 0 0 0 = − − − − x x x x x x x x x 注 意 lim ( ) ( ) . 0 0 f x A f x A x x = = − 记作 → − 或 lim ( ) ( ) . 0 0 f x A f x A x x = = + 记作 → + 或 (right-hand limit) (left-hand limit)