加东翟王大深 7.6 线性变换的值域与 核
7.6 线性变换的值域与 核
山东程子大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 定义1设A是线性空间V的一个线性变换，A的全体像 组成的集合称为A的值域，用AV表示 AV={Aξ|ξ∈V}, 所有被A变成零向量的向量组成的集合称为A的核 用A-1(0)表示 A-1(0)={ξ∈V|Aξ=0}
山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 性质 线性变换的值域与核都是V的子空间. AV的维数称为几的秩，A-1(0)的维数称为A的零度 例1在线性空间P[x]n中，令 0=的. 则D的值域为P[x]n-1，D的核为子空间P. 例2零变换O的值域是{0}，核是V 例3可逆变换A,值域AV=V,核A-1(O)={0}
ᵉ(ᵉ(ᵉ)) = ᵉ′ (ᵉ)
山东理2大军 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 定理1设A是n维线性空间V的线性变换.则AV的一组 基的原像及凡-1(0)的一组基合起来就是V的一组基.由此 几的秩+A的零度=n, 推论对于有限维线性空间的线性变换，它是单射的充分必 要条件为它是满射. ·虽然子空间AV与几-1(0)的维数之和为n,但是 AV+A-1(0)并不是整个空问
由此 推论 对于有限维线性空间的线性变换，它是单射的充分必 要条件为它是满射
山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 定理2设凡是n维线性空间V的线性变换，e1,2,.,en 是V的一组基，凡在这组基下的矩阵是A,则 1)A的值域AV是由基像组生成的子空间，即 AV=L(AE,Ae2,.,Aen). 2)A的秩=A的秩