山东理工大学：《高等代数》课程教学课件（教案讲义）第六章 线性空间

第六章线性空间s1集合·映射一、集合集合的有关概念学过，集合的差集：M-N=(x|xeM,xN)二、映射1映射的定义设M和M'是两个集合，所谓集合M到集合M的一个映射就是指一个法则，它使M中每一个元素α都有M'中一个确定的元素α与之对应.如果映射使元素α'eM'与元素aeM对应，那么就记为o(a)=a',a'就为a在映射。下的像，而a称为a'在映射。下的一个原像M到M自身的映射，有时也称为M到自身的变换关于M到M'的映射α应注意：1）M与M可以相同，也可以不同：2）对于M中每个元素αa，需要有M'中一个唯一确定的元素α与它对应；3）一般，M中元素不一定都是M中元素的像；4）M中不相同元素的像可能相同1

1 第六章 线性空间 §1 集合·映射 一、集合 集合的有关概念学过. 集合的差集: M N x x M x N      | ,  二、映射 1 映射的定义 设 M 和 M  是两个集合，所谓集合 M 到集合 M  的一个映射就是指 一个法则，它使 M 中每一个元素 a 都有 M  中一个确定的元素 a  与之对 应.如果映射  使元素 a M 与元素 a  M 对应，那么就记为 (a)  a , a  就为 a 在映射  下的像，而 a 称为 a  在映射  下的一个原像. M 到 M 自身的映射，有时也称为 M 到自身的变换. 关于 M 到 M  的映射  应注意： 1） M 与 M  可以相同，也可以不同； 2）对于 M 中每个元素 a ，需要有 M  中一个唯一确定的元素 a  与 它对应； 3）一般， M  中元素不一定都是 M 中元素的像； 4） M 中不相同元素的像可能相同；

5）两个集合之间可以建立多个映射2两个映射相等集合M到集合M的两个映射及，若对M的每个元素a都有o(a)=t(a)则称它们相等，记作=t..例1M是全体整数的集合，M是全体偶数的集合，定义o(n)=2n,neM,这是M到M'的一个映射例2M是数域P上全体n级矩阵的集合，定义O(A)=AI, AeM.这是M到P的一个映射例3M是数域P上全体n级矩阵的集合，定义,(a)=aE, aeP.E是n级单位矩阵，这是P到M的一个映射例 4对于f(x)eP[x],定义o(f(x))= f'(x)这是P[x]到自身的一个映射例5设M，M是两个非空的集合，α是M'中一个固定的元素，定义o(a)=a,aeM.这是M到M'的一个映射例6设M是一个集合，定义d(a)=a,aeM2

2 5）两个集合之间可以建立多个映射. 2 两个映射相等 集合 M 到集合 M  的两个映射  及  ，若对 M 的每个元素 a 都有 (a)  (a) 则称它们相等，记作   . 例 1 M 是全体整数的集合， M  是全体偶数的集合，定义 (n)  2n, nM , 这是 M 到 M  的一个映射. 例 2 M 是数域 P 上全体 n 级矩阵的集合，定义 1  ( ) | |, A A A M   . 这是 M 到 P 的一个映射. 例 3 M 是数域 P 上全体 n 级矩阵的集合，定义 2  ( ) , a aE a P   . E 是 n 级单位矩阵，这是 P 到 M 的一个映射. 例 4 对于 f x P x ( ) [ ]  ,定义 ( f (x))  f (x) 这是 P x[ ] 到自身的一个映射. 例 5 设 M ，M  是两个非空的集合， a0 是 M  中一个固定的元素， 定义 (a)  a0 ,a  M . 这是 M 到 M  的一个映射. 例 6 设 M 是一个集合，定义 (a)  a ,a  M

即。把M的每个元素都映到它自身，称为集合M的恒等映射或单位映射，记为1M：例7任意一个定义在全体实数上的函数y=f(x)都是实数集合到自身的映射，因此函数可以认为是映射的一个特殊情形.3映射乘法，设及t分别是集合M到M，M'到M"的映射，乘积to定义为(to)(a) = t(o(a) ,ae M,即相继施行α和t的结果，to是M到M"的一个映射，对于集合集合M到M的任何一个映射显然都有Im0=olm=0.映射的乘法适合结合律.设,t,分别是集合M到M'，M'到M"，M"到M"的映射，映射乘法的结合律就是(yt)a=y(to)4映上的，1-1的，双射设是集合M到M的一个映射，用(M)代表M在映射。下像的全体，称为M在映射。下的像集合.显然o(M)C M.如果(M)=M"，映射。称为映上的或满射如果在映射。下，M中不同元素的像也一定不同，即由a,az定有(a)±(a,)，那么映射就称为1-1的或单射3

3 即  把 M 的每个元素都映到它自身，称为集合 M 的恒等映射 或单位映射，记为 M1 . 例 7 任意一个定义在全体实数上的函数 y  f (x) 都是实数集合到自身的映射，因此函数可以认为是映射的一个特殊情 形. 3 映射乘法, 设  及  分别是集合 M 到 M ，M  到 M  的映射，乘积  定义为 ( )(a)  ((a)) ,aM , 即相继施行  和  的结果，  是 M 到 M  的一个映射. 对于集合集合 M 到 M  的任何一个映射  显然都有 1M 1M  . 映射的乘法适合结合律.设 , , 分别是集合 M 到 M ，M  到 M ， M  到 M  的映射，映射乘法的结合律就是 () ( ). 4 映上的,11 的, 双射 设  是集合 M 到 M  的一个映射，用  (M) 代表 M 在映射  下像的全体，称为 M 在映射  下的像集合.显然 (M)  M . 如果 (M)  M ，映射  称为映上的或满射. 如果在映射  下， M 中不同元素的像也一定不同，即由 1 2 a  a 一 定有 ( ) ( )  a1  a2 , 那么映射  就称为 11 的或单射

一个映射如果既是单射又是满射就称1-1对应或双射，5逆映射对于M到M的双射。可以自然地定义它的逆映射，记为。-.因为α为满射，所以M"中每个元素都有原像，又因为α是单射，所以每个元素只有一个原像，定义-'(a)=a,当o(a)=α'.显然，是M到M的一个双射，并且g'g=1m,00- =1m.不难证明，如果,t分别是M到M'，M到M"的双射，那么乘积To就是M到M”的一个双射4

4 一个映射如果既是单射又是满射就称 11 对应或双射. 5 逆映射 对于 M 到 M  的双射  可以自然地定义它的逆映射，记为 1  .因 为  为满射，所以 M  中每个元素都有原像，又因为  是单射，所以 每个元素只有一个原像，定义 a   a a  a   ( ) , ( ) 1  当 . 显然， 1  是 M  到 M 的一个双射，并且 M M   1 , 1 1 1    . 不难证明，如果 , 分别是 M 到 M ，M  到 M  的双射，那么乘积  就是 M 到 M  的一个双射

s2线性空间的定义与简单性质一、线性空间的定义1线性空间的背景例1.数域P上一切矩阵所成的集合对于矩阵的加法和数与矩阵的乘法.例2数域P上n维向量所成的集合对于向量的加法和数与向量的乘法.2线性空间的定义定义1令V是一个非空集合，P是一个数域.在集合V的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法；这就是说给出了一个法则，，对于V中任意两个向量α与β，在V中都有唯一的一个元素与它们对应,称为α与β的和,记为=α+β.在数域P与集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法；这就是说，对于数域P中任一个数k与V中任一个元素α，在V中都有唯一的一个元素ε与它们对应，称为k与α的数量乘积，记为8=kα.如果加法与数量乘法满足下述规则，那么V称为数域P上的线性空间加法满足下面四条规则：1)α+β=β+α;2) (α+β)+=α+(β+); 3)在V中有一个元素0，VαEV，都有α+0=α（具有这个性质的元素0称为V的零元素）；4)VαV,3βeV,stα+β=O（β称为α的负元素).5

5 §2 线性空间的定义与简单性质 一、线性空间的定义. 1 线性空间的背景 例 1. 数域 P 上一切矩阵所成的集合对于矩阵的加法和数与矩阵 的乘法. 例 2 数域 P 上 n 维向量所成的集合对于向量的加法和数与向量 的乘法. 2 线性空间的定义 定义 1 令 V 是一个非空集合， P 是一个数域.在集合 V 的元素之 间定义了一种代数运算，叫做加法；这就是说给出了一个法则，.对 于 V 中任意两个向量  与  ,在 V 中都有唯一的一个元素  与它们对 应,称为  与  的和,记为     . 在数域 P 与集合 V 的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法；这 就是说，对于数域 P 中任一个数 k 与 V 中任一个元素  ,在 V 中都有唯 一的一个元素  与它们对应,称为 k 与  的数量乘积,记为   k .如果 加法与数量乘法满足下述规则，那么 V 称为数域 P 上的线性空间. 加法满足下面四条规则: 1)       ； 2) (  )    (  ) ；3) 在 V 中有一个元素 0, V ,都有   0  （具有这个性质的元 素 0 称为 V 的零元素）； 4)  V, V,st     0 (  称为  的负元素)