第九章欧几里得空间81定义与基本性质一、向量的内积1.．复习第六章线性空间的内容2．本章主要是实数域上的线性空间，第八节是复数域上的线性空间.3.内积的定义设V是实数域R上一个向量空间，在V上定义了一个二元实函数，称为内积，记作（α，β)，它具有以下性质1) (α,β)=(β,α);2) (kα,β)=k(α,β);3) (α+β,)=(α,)+(β,);4）(α,α)≥0,当且仅当α=0时，(α,α)=0这里α,β,是V任意的向量，k是任意实数这样的线性空间V称为欧几里得空间4.常见的例子例1在线性空间R"中,对于向量α=(ai,a2,",an),β=(by,b2,",b),定义内积(1)(α, β)=ab, +a,b, +...+a,bn则内积(1)适合定义中的条件，这样R"就成为一个欧几里得空间.仍用来表示这个欧几里得空间1
1 第九章 欧几里得空间 §1 定义与基本性质 一、向量的内积 1. 复习第六章线性空间的内容 2．本章主要是实数域上的线性空间，第八节是复数域上的线性 空间. 3. 内积的定义 设 V 是实数域 R 上一个向量空间, 在 V 上定义了一个二元实函 数，称为内积, 记作 (, ), 它具有以下性质: 1) (,) (,) ; 2) (k,) k(,) ; 3) ( , ) (, ) (, ) ; 4) (,) 0,当且仅当 0 时, (,) 0 这里 , , 是 V 任意的向量, k 是任意实数,这样的线性空间 V 称 为欧几里得空间. 4. 常见的例子 例 1 在线性空间 n R 中,对于向量 ( , , , ) , ( , , , ) a1 a2 an b1 b2 bn , 定义内积 ( , ) . a1 b1 a2 b2 an bn (1) 则内积(1)适合定义中的条件，这样 n R 就成为一个欧几里得空间.仍用 来表示这个欧几里得空间
在n=3时，(1)式就是几何空间中的向量的内积在直角坐标系中的坐标表达式例2在R里，对于向量α=(ar,az,*",an),β=(bi,b2,".,b,)定义内积(α, β)=a,b +2a,b, +...+na,b.则内积(1)适合定义中的条件，这样R"就也成为一个欧几里得空间仍用来表示这个欧几里得空间对同一个线性空间可以引入不同的内积，使得它作成欧几里得空间.例3在闭区间[a,b]上的所有实连续函数所成的空间C(a,b)中，对于函数(x),g(x)，定义内积(2)(f(n),g(x)=I f(x)g(x)dx对于内积(2)，C(a,b)构成一个欧几里得空间同样地，线性空间R[x]，R[x]，对于内积(2)也构成欧几里得空间例4在R中，对于α=(x,J,)，β=(2,2,=),(α,β)=x+2-3z2是否是一个内积？例5在Rx3中，对于矩阵A,B，定义内积tr(A"B2
2 在 n 3 时，(1)式就是几何空间中的向量的内积在直角坐标系中的 坐标表达式. 例 2 在 n R 里, 对于向量 ( , , , ) , ( , , , ) a1 a2 an b1 b2 bn , 定义内积 ( , ) 2 . a1 b1 a2 b2 nan bn 则内积(1)适合定义中的条件，这样 n R 就也成为一个欧几里得空间. 仍用来表示这个欧几里得空间. 对同一个线性空间可以引入不同的内积, 使得它作成欧几里得空 间. 例 3 在闭区间 [a,b] 上的所有实连续函数所成的空间 C(a,b) 中, 对于 函数 f (x), g(x), 定义内积 b a ( f (x), g(x)) f (x)g(x)dx . (2) 对于内积(2)，C(a,b) 构成一个欧几里得空间. 同样地，线性空间 [ ], [ ] R x R x n 对于内积(2)也构成欧几里得空间. 例 4 在 3 R 中, 对于 1 1 1 2 2 2 ( , , ) , ( , , ) x y z x y z , 1 2 1 2 1 2 ( , ) 2 3 x x y y z z 是否是一个内积？ 例 5 在 3 3 R 中, 对于矩阵 A B, , 定义内积 ( ) T tr A B
二、欧几里得空间的基本性质1.性质1）定义中条件1）表明内积是对称的2') (α,kβ)=(kβ,α)=k(α,β)=k(β,α)3') (α,β+y)=(β+y,α)=(β,α)+(,α)=(α,β)+(α,)2.向量α的长度非负实数α,)称为向量α的长度，记为al显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的长度才是零，这样定义的长度符合熟知的性质：(3)[ka| =k 1[al这里keR,αeV,3.单位向量长度为1的向量叫做单位向量.如果，α±0由(3)式，向量1a就是一个单位向量.用向量α的长度去除向量α，得到一个与α成比例的单位向量，通常称为把α单位化4.柯西-布涅柯夫斯基不等式即对于任意的向量α,β有(5)[(α, β)≤|β当且仅当α，β线性相关时，等式才成立证明：任取t，都有(α+tβ,α+tβ)≥0即可3
3 二、欧几里得空间的基本性质 1. 性质 1）定义中条件 1）表明内积是对称的. 2) (,k) (k,) k(,) k(,). 3) (, ) ( ,) (,) ( ,) (,) (, ) 2. 向量 的长度 非负实数 (,) 称为向量 的长度，记为 . 显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的长度才是零，这样定 义的长度符合熟知的性质： k | k | (3) 这里 k R, V . 3.单位向量 长度为 1 的向量叫做单位向量.如果, 0 由(3)式，向量 1 就是一个单位向量.用向量 的长度去除向量 ，得到一个与 成比例 的单位向量，通常称为把 单位化. 4. 柯西-布涅柯夫斯基不等式： 即对于任意的向量 , 有 (, ) (5) 当且仅当 , 线性相关时，等式才成立. 证明: 任取 t , 都有 ( , ) 0 t t 即可
下面是这个不等式的具体情况对于例1的空间R"，(5)式就是ab,+a,b,++a.b.,≤a+a?+..+a,b?+b+.+b?对于例2 的空间C(a,b)，(5)式就是[" ()g()d≤(" (x)da) ( g()ax)5.非零向量α,β的夹角<α,β>规定为<a. >= ac0 , 0≤(a, )≤ alB根据柯西-布涅柯夫斯基不等式，有三角形不等式[α + β≤+[例5欧氏空间R中，α=(2,1,3,2)。β=(1,2,-2,1)，则α,βα与β的夹角=6α,β称为正交或互相垂直如果向量α.β的内积为零，即(α,β)= 0那么α.β称为正交或互相垂直，记为α士β两个非零向量正交的充要条件是它们的夹角为“2只有零向量才与自己正交勾股定理：当α,β正交时，α+=a+推广：如果向量两αiαz,αm两两正交，那么[a +α2 +...+m -a] +a2" +.+amA
4 下面是这个不等式的具体情况 对于例 1 的空间 n R ，(5)式就是 . 2 2 2 2 1 2 2 2 2 a1b1 a2b2 anbn a1 a an b b bn 对于例 2 的空间 C(a,b)，(5)式就是 2 1 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) b a b a b a f x g x dx f x dx g x dx 5. 非零向量 , 的夹角 , 规定为 , 0 , ( , ) , arccos 根据柯西-布涅柯夫斯基不等式，有三角形不等式 . 例 5 欧氏空间 4 R 中， (2,1,3,2), (1,2, 2,1) ，则 | | ，| | 与 的夹角 ＝ 6 , 称为正交或互相垂直 如果向量 , 的内积为零，即 (,) 0 那么 , 称为正交或互相垂直，记为 . 两个非零向量正交的充要条件是它们的夹角为 2 . 只有零向量才与自己正交. 勾股定理：当 , 正交时， . 2 2 2 推广：如果向量两 m , , , 1 2 两两正交，那么 2 2 2 2 1 2 1 2 m m
三、度量矩阵1度量矩阵的定义设V是一个n维欧几里得空间，在V中取一组基6j,62，,，对于V中任意两个向量α=Xe +X,e2 +...+x,en,β=ye,+y2e, +...+ynen?由内积的性质得(α,β)=(x6) +X262 +..+X,8n,yi8) +y2E2 +.+yne.)2Z(6,6)x,)i=l j=l令(8)(i, j=1,2,..,n)a, =(6,8))显然a,=aji.于是Za,xy-(α,β)=(9)=利用矩阵，（α,β)还可以写成(10)(α,β)=X'AY ,其中yiy2xXynX分别是α,β的坐标，而矩阵A=(a,)mm5
5 三、度量矩阵 1 度量矩阵的定义 设 V 是一个 n 维欧几里得空间，在 V 中取一组基 n , , , 1 2 ， 对于 V 中任意两个向量 n n x x x 1 1 2 2 , n n y y y 1 1 2 2 , 由内积的性质得 n i n j i j i j n n n n x y x x x y y y 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 ( , ) ( , ) , 令 a ( , ) (i, j 1, 2 , ,n) ij i j (8) 显然 . aij a ji 于是 n i n j ij i j a x y 1 1 (, ) (9) 利用矩阵， (, ) 还可以写成 (,) XAY , (10) 其中 n n y y y Y x x x X 2 1 2 1 , 分别是 , 的坐标，而矩阵 A aij nn ( )