第1章定积分1.1定积分的概念、可积函数及其初等性质1.1.1定积分的概念设f(r)是定义在[a,b]上的函数（1）把[a，]分成有限个子区间，即在[a，］中插入有限个分点，一般都表示为Aa=ao<<...<=b,并形成一组n个相连的子区间[工-1，x,Ji=1,2，,n).我们称此为[a，的一个分划（分割，记为）并记4z=—-（12*，n）.以及=max(Az1z2，4z）即各子区间长度之最大值，称为分划△的模（2）在每个子区间中任取一点：5E［x-1，(=1,2，,n），简称为插点组，并记为<s).（3）把分划△的各子区间与插点组<)上相应的函数值组成和式f(s)Ar; =f(6)(; 1),S= S(f) =称为f()在[a，b上的Riemann积分和，简称为积分和，其值与分划△、插点组<s)的取法有关定义1.1.1设f()是定义在[ab]上的函数.若有实数J,对任给的>0,存在8>0,使得对满足△<的任意分划△，以及任取的插点组<s)，均有IS(f,e)-JI<e则称f(）在La，b]上是（Riemann）可积的，或说f（）在［a，b]上的（Riemann）定积分存在，并简记为 im2f(6) At) = J.lim S(f,E)= J,1A--A:数值J称为(α)在[a,b]上的定积分，并记为J=f(z)dz.也简称为f(r)从a到6的定积分（值），a称为积分下限，6称为积分上限我们约定[f(r)dr= 0；[f(r)dz=ff()da.定理1.1.1若f(r)在[a，6]上可积，则其积分值是唯一的定理1.1.2（函数可积的必要条件）若f(r)在[a,b]上可积，则f(r)在[a,b]上有界。注有界函数不一定可积，例如Dirichlet函数D(r)={1，z是有理数,1o，x是无理数例1.1.1解答下列问题：(1）设f()在[0,1]上可积，且有f(a)d>0，试证明存在[αβ]C[0,1]
第1章定积分2使得f()>0(E[αβ)(2)设f()在[a,b]上有界，α>0.试对a,b]的任一分划：a=zo<r<.….Z f(6)(Ar,) t.<a=b，以及任意的插点组<s>，计算极限limA解（1）反证法.假定在[0，1]中的任一子区间中，总有非正的f(r)值，则对之 5(6.)A2;中,取 F(6)≤0 可使任一个S.<0. 从任一分划△所作的积分和S=而又有limSf(α)dr≤0.IAI这与题设矛盾，得证(2）设|f(r)<M(rE[a，b])，易知Zf()(Ar,)u <Z1 f(s) / (Ax,)"(Ar,)≤l ll.Mar; = AlM(b-a).从而知该极限值为零1.1.2可积函数类下文中，我们总是假设定义在区间上的f（z）是有界的，且记M= M(f)= Sup(f(),m=m(f)= infif(a))定义1.1.2作[a,的分划A：a=ro<i<<=b,且记(M=M()-sup(f(r)),(i=1,2,",n),inf,(f(r))m=mf=-1则称和式（数值）S=S(f)MAri,S=S()mAr为f(r)（在Lab]上）关于分划△的Darboux上和与下和，简称为上和与下和.这一操作避免了原积分和由于函数在插点上值的变化而出现的不确定性，引理1.1.1（积分和与Darboux上、下和的关系）设△：a=ro<x<<r,=b是[a，b的任一分划，则对任意的插点组<)，有S<S<S。，即AEmAri<Ef(s)Ais,MAr;设△"，"是[a,]的两个分划.若△'的分点必是"的分点，则称"为'的加细分划，记为A'CA".若△与"是[a，的任意两个分划，则S≤S引理1.1.2
1.1定积分的概念、可积函数及其初等性质3定义1.1.3（Darboux）设f(r)是[a，b]上的有界函数，对La，b]的一切分划△，作相应的上和数集（S)与下和数集S)，且记其下上确界各为inf(Sa)J"f(z)dz,sup(Sa)=I"f(r)dr.并各称为f(）在[a，b]上的（Darboux）上积分与下积分显然有S≤Jf(r)drJf(a)dr<ss推论对[a，b]上的有界函数，其上、下积分相等的充分必要条件是：对任给>0,存在8>0,使得对任-满足△<的分划△，均有S一S<定理1.1.3设f()是[a，b]上的有界函数，则对任给的e>0,存在>0,使得当[a，b]的分划满足时，有['f(r)dr+e>Ss, J'f()dr-e<Ss,也写成limSaf(r)dz，kim.Ss =f(r)dx4为方便计，记La，b]上所有可积函数的全体为R(La，b]），fER(Lab])表示f(）是[a,b]上的可积函数，定理1.1.4设f(r)是[a,b]上的有界函数，则fER(La，b])当且仅当其上、下积分相等。此时有[,r(r)dx =,f(r)dr = J'f(a)dr.定理1.1.5(Riemann）设f(r)是[a，b]上的有界函数(1）fER(La,b])的充分必要条件是：对任给的>0,存在>0,使得当分划△满足l△I<时，有（f)一S（f)<e.(2）fER([ab])的充分必要条件是：对任给的e>0,存在[a，b]的分划△，使得S（f)-S(f)<E注如果对于[a,]的分划：a=<<<=b,引用f()在[i-]，,]上振幅符号：w=w（f)=M-m= sup( f(r)-f(y) :r,yE[r-i,r)(i=1,2,",n),那么上述充分必要条件中的不等式又可写为(M,-m)Ar)=S-S)<e(*)4显然，为使式（*）成立，理应在振幅与△z两个方面上下功夫.例如，我们能使每个都充分地小，这当然是最理想的情形，因为此时，小区间△z长度的总和也就是b一α，所以式（*）成立，可积函数的范例：
第1章定积分(i）定义在[a,b]上的连续函数.（ii）定义在[a,b]上的单调函数定理1.1.6(DuBoisReymond）［a,b]上有界函数可积的充分必要条件是：对任给的e>0<工=b，其相应于≥e的子区间△t的长度的总和小于。g>0,存在分划△：a=Zo<a推论若定义在[a,b]上的有界函数只有有限个不连续点，则f()在[a,b]上可积例1.1.2解答下列问题：r,ELa,b]nQ,试求其在[a，]上的上、下积分.(1)设f(x)lo,rE[a,b]nQ(2）设fEC([0,1]).若存在常数C,使得对[0,1]的任一分划△：0=xo<ai<.<a=1,都有S(f)=C,则f()=C,xE[o,1]解(1)易知f(α)dz=0.此外，对任一分划△，我们有-2S(f) =( -) =r.2-1i-l(+()山()=2而对特定分划：a;=a十i（b一a)/n，又有[a+(b -a)b = b- (b-a)?S&(f) =)1222n(B-α).这说明f(r)dr=(2）（i)取分划：0=ro<x=1，则C=S（f）=m（1一0）=m（m=min(f(r)1).10.1(i）对任一分划△：0αo<x1<<α,一1，我们有mAzi = C=S(f)=)CArimin,(f(r))).(m=[x-]由此知-C)4z=0,即得m=C(i=1,2,,n)m-这说明f(r)在[o,1]内的任一子区间上的最小值都等于C,即f(a）一C的点r全体在[o,1]上稠密，而f(）是连续的，从而f(α）三C.例1.1.3试证明下列函数f(z）在给定区间上可积：sinl#半0,2xE[o,1].(1) f(x)lo,=0
1.1定积分的概念、可积函数及其初等性质5113≠0，sinz'(2) f(r)TrE[o,1].lo,α=0,(Inr·In(1+r)，0,(3)f()E[o,]10,=0,证明（1）f(z）有界且仅有一个不连续点r一0.(2)注意(1/r—1/sin)-→0(→0+).(3)注意Inx·ln(1+x)-→0(r→0+)例1.1.4试证明下列命题：(1）设fER([a,b).若令h(r) = inf(f(t)),H(α)=suptf(t)),a<a<b,则h(r),H(r)在[a，b]上可积（2）设fER([0,1])，则有limIn=0,I. =(f()-F(2)+.+(-1)"f("=1))(证明（1）h(r）是[a，b]上的递减函数，H(r)是[a，b]上的递增函数（2）只需看n=2m十1，我们有1 =[(2)()(f) →0(n→0).n例1.1.5试证明下列命题：（1）设f(a)定义在[a，b]上.若对任给的e>0,存在gER(La，b])，使得If()-g()<e,E[a,b],则fER([a,b]).(2）设f()定义在[a，b]上，则|f(α）|与"（α)在[a,b]上的可积性等价.证明（1）因为我们有（对任给e>0）lf(y)-f(r)/≤/f(y)-g(y)/+ /g(y)-g(r)/+/g(r)-f(r)l<2e+ Ig(y) -g(α) /,所以对[a，b的任一分划△，可得（f）≤2e十w（g).从而由g(r)的可积性可推f(α)的可积性.(2)(i)设/flER([a,b)),且假定f(α)/<M(a<r<b),则由f(α)-f(")/≤2M//f()-/f(")/1,即知fER(La，b])(ii)设ER([a,b]).注意到f()-f(")f()/f().f()+f()≤l(x)-f(")