数量乘法满足下面两条规则：5) lα=α;6) k(lα)=(kl)α;数量乘法与加法满足下面两条规则7)(k+D)α=kα+lα;8) k(α+β)=kα+kβ;在以上规则中，k,1等表示数域P中任意数；α,β,等表示集合V中任意元素3如何证明例3数域P上一元多项式环P[x]，按通常的多项式加法和数与多项式的乘法，构成一个数域P上的线性空间.如果只考虑其中次数小于n的多项式，再添上零多项式也构成数域P上的一个线性空间，用P[x],表示.例4元素属于数域P的mxn矩阵，按矩阵的加法和数与矩阵的数量乘法，构成数域P上的一个线性空间，用Pmx表示例5全体实函数，按函数加法和数与函数的数量乘法，构成一个实数域上的线性空间，例6数域P按照本身的加法与乘法，即构成一个自身上的线性空间.例7以下集合对于所指定的运算是否作成实数域R上的线性空间:6
6 数量乘法满足下面两条规则： 5) 1 ; 6) k(l) (kl) ; 数量乘法与加法满足下面两条规则： 7) (k l) k l ; 8) k( ） k k; 在以上规则中， k,l 等表示数域 P 中任意数； , , 等表示集合 V 中任 意元素. 3 如何证明 例 3 数域 P 上一元多项式环 P x[ ] ,按通常的多项式加法和数与多 项式的乘法，构成一个数域 P 上的线性空间.如果只考虑其中次数小 于 n 的多项式，再添上零多项式也构成数域 P 上的一个线性空间，用 [ ] P x n 表示. 例 4 元素属于数域 P 的 mn 矩阵，按矩阵的加法和数与矩阵的 数量乘法， 构成数域 P 上的一个线性空间，用 m n P 表示. 例 5 全体实函数，按函数加法和数与函数的数量乘法，构成一 个实数域上的线性空间. 例 6 数域 P 按照本身的加法与乘法，即构成一个自身上的线性空 间. 例 7 以下集合对于所指定的运算是否作成实数域 R 上的线性空 间:
1）平面上全体向量所作成的集合V，对于通常向量的加法和如下定义的纯量乘法：aα=0,aeR,αeV.2）R上n次多项式的全体所作成的集合W对于多项式的加法和数与多项式的乘法例8设V是正实数集，R为实数域.规定α④β=αβ(即α与β的积),aOα=αa（即α的a次幂），其中α,βeV,aeR.则V对于加法④和数乘O作成R上的线性空间二线性空间的简单性质线性空间的元素也称为向量.当然这里的向量比几何中所谓向量的涵义要广泛得多.线性空间有时也称为向量空间.以下用黑体的小写希腊字母α,β.".代表线性空间V中的元素，用小写拉丁字母a,b,c,..代表数域P中的数.1.零元素是唯一的.2.负元素是唯一的.3.0α=0;k0=0;(-1)α=-α.4.如果kα=0,那么k=0或者α=07
7 1) 平面上全体向量所作成的集合 V ,对于通常向量的加法和如 下定义的纯量乘法: a 0,a R, V . 2) R 上 n 次多项式的全体所作成的集合 W 对于多项式的加法和 数与多项式的乘法. 例 8 设 V 是正实数集, R 为实数域.规定 (即 与 的积), a ⊙ = a (即 的 a 次幂), 其中 , V,a R .则 V 对于加法⊕和数乘⊙作成 R 上的线性空间. 二 线性空间的简单性质 线性空间的元素也称为向量.当然这里的向量比几何中所谓向量 的涵义要广泛得多.线性空间有时也称为向量空间.以下用黑体的小 写希腊字母 ,, , 代表线性空间 V 中的元素，用小写拉丁字母 a,b,c, 代表数域 P 中的数. 1.零元素是唯一的. 2.负元素是唯一的. 3. 0 0;k0 0;(1) . 4.如果 k 0 ,那么 k 0 或者 0
s3维数·基与坐标一、向量的线性相关与线性无关复习前面的有关内容练习：5，6，例1在线性空间P[x],中，1,x,x2,…,x"-是n个线性无关的向量(100)例2对于数域P来讲，p23上(000)001000)7000)700，符号E(000100。10。。121是线性无关的二、如何判断一个线性空间是多少维的，求它的一组基在一个线性空间中究竞最多能有几个线性无关的向量，显然是线性空间的一个重要属性。定义5如果在线性空间V中有n个线性无关的向量，但是没有更多数目的线性无关的向量，那么V就称为n维的；如果在V中可以找到任意多个线性无关的向量，那么V就称为无限维的，α=ae+a62+.+anen其中系数a,a2a是被向量α和基,62,6,唯一确定的，这组数就称为α在基,2,下的坐标，记为（ai,a2,a,).定义6在n维线性空间V中，n个线性无关的向量s,82,8,称为V的一组基.设α是V中任一向量，于是s,2",n,α线性相关，因此α8
8 §3 维数·基与坐标 一、向量的线性相关与线性无关 复习前面的有关内容 练习：5，6， 例 1 在线性空间 [ ] P x n 中， 2 1 1, , , , n x x x 是 n 个线性无关的向量 例 2 对于数域 P 来讲， 2 3 P 上 1 0 0 000 , 0 1 0 000 , 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 , 符号 Eij 是线性无关的 二、如何判断一个线性空间是多少维的，求它的一组基 在一个线性空间中究竟最多能有几个线性无关的向量，显然是线 性空间的一个重要属性. 定义 5 如果在线性空间 中有 n 个线性无关的向量，但是没有更 多数目的线性无关的向量，那么 就称为 n 维的；如果在 中可以找 到任意多个线性无关的向量，那么 就称为无限维的. a a an n 1 1 2 2 . 其中系数 a a an , , , 1 2 是被向量 和基 n , , , 1 2 唯一确定的，这组数就 称为 在基 n , , , 1 2 下的坐标，记为 ( , , , ) a1 a2 an . 定义 6 在 n 维线性空间 V 中， n 个线性无关的向量 n , , , 1 2 称为 V 的一组基.设 是 V 中任一向量，于是 1 , 2 , , n , 线性相关，因此 V V V V
可以被基862，8线性表出：由以上定义看来，在给出空间V的一组基之前，必须先确定V的维数.定理1如果在线性空间V中有n个线性无关的向量αj,α2α,，且V中任一向量都可以用它们线性表出，那么V是n维的，而ααzα就是的一组基例3在线性空间P[x],中,1, x,x2,.",x"-1是n个线性无关的向量，而且每一个次数小于n的数域P上的多项式都可以被它们线性表出，所以P[x],是n维的，而1,x,x2，…,x"-就是它的一组基.例4在n维的空间p中，显然[6} = (1,.,),62 = (0,,,0)(6, = (0,0,.,.)是一组基.对于每一个向量α=(a,az,",a)，都有α=a,+a,e,+..+a,..所以(a,az"",a,)就是向量α在这组基下的坐标例5如果把复数域K看作是自身上的线性空间，那么它是一维的，数1就是一组作是实数域上的线性空间，那么就是二维的，数1与i就是一组基.这个例子告诉我们，维数是和所考虑的数域有关的是00例6：对于数域P来讲，p23是6维的，一组基是0009
9 可以被基 n , , , 1 2 线性表出： 由以上定义看来，在给出空间 V 的一组基之前，必须先确定 V 的 维数. 定理 1 如果在线性空间 V 中有 n 个线性无关的向量 n ,. , , 1 2 ， 且 V 中任一向量都可以用它们线性表出，那么 V 是 n 维的，而 n ,. , , 1 2 就是 V 的一组基. 例 3 在线性空间 [ ] P x n 中， 2 1 1, , , , n x x x 是 n 个线性无关的向量，而且每一个次数小于 n 的数域 P 上的多项式 都可以被它们线性表出，所以 [ ] P x n 是 n 维的，而 2 1 1, , , , n x x x 就是它的 一组基. 例 4 在 n 维的空间 n P 中，显然 (0,0, ,1) (0,1, ,0), (1,0, ,0), 2 1 n 是一组基.对于每一个向量 ( , , , ) a1 a2 an ,都有 a a an n 1 1 2 2 . 所以 ( , , , ) a1 a2 an 就是向量 在这组基下的坐标. 例 5 如果把复数域 K 看作是自身上的线性空间，那么它是一维 的，数 1 就是一组作是实数域上的线性空间，那么就是二维的，数 1 与 i 就是一组基.这个例子告诉我们，维数是和所考虑的数域有关的. 例 6：对于数域 P 来讲， 2 3 P 是 6 维的，一组基是 1 0 0 000
(88)符号E00f例7.P[x]是无限维的三、如何求向量在某一组基下的坐标1如何求向量在某一组基下的坐标假设V是数域P上的一个n维线性空间，s,2，,8，是一组基，αeV，令α=xc+x6,++x,,，得到一个线性方程组，由于6，62，,8，线性无关，则该方程组有唯一解。例8试求R3中向量α=(1,2,1)在基α=(1,1,1)，α,=(1,1,-1),α,=(1,-1,-1)下的坐标例9在线性空间P[x]中，1,x,x2,x3是一组基，求f(x)=5x+2x+7在该基下的坐标(978例10求p23的一组基,写出「在该基下的坐标3452向量运算与坐标运算的对应假设V是数域P上的一个n维线性空间，6，62，…,6，是一组基，α,βeV.则有aaα=a+a6,+..+a,8,=(,62,,n)an(b6β=b6)+b,62 +..+b,6,=(6),82,",6,).(bh)10
10 0 1 0 000 , 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 , 符号 Eij 例 7. P x[ ] 是无限维的 三、 如何求向量在某一组基下的坐标 1 如何求向量在某一组基下的坐标 假设 V 是数域 P 上的一个 n 维线性空间, 1 2 , , , n 是一 组基, V , 令 1 1 2 2 n n x x x , 得到一个线性方程组, 由于 1 2 , , , n 线性无关, 则该方程组有唯一解. 例 8 试求 3 R 中向量 1, 2 ,1 在基 1 1,1,1 , 2 1,1, 1 , 3 1, 1, 1 下的坐标 例 9 在线性空间 4 P x[ ] 中， 2 3 1, , , x x x 是一组基,求 3 f x x x ( ) 5 2 7 在 该基下的坐标 例 10 求 2 3 P 的一组基,写出 9 7 8 3 4 5 在该基下的坐标 2 向量运算与坐标运算的对应 假设 V 是数域 P 上的一个 n 维线性空间, 1 2 , , , n 是一组 基, , V . 则有 1 2 1 1 2 2 1 2 ( , , , ) n n n n a a a a a a 1 2 1 1 2 2 1 2 ( , , , ) n n n n b b b b b b