山东理工大学：《高等代数》课程教学课件（教案讲义）第五章 二次型

第五章二次型s1二次型及其矩阵表示一、二次型及其矩阵表示1定义：设P是一个数域，一个系数在数域P中的xi,,x，的二次齐次多项式f(xj,,..x,)=a*+2a2 +...+2anx, +a+...+2anxx,++amx,()称为数域P上的一个n元二次型，简称二次型，2二次型的矩阵（相伴矩阵）f(x,x2,",x,)=aux+a2xx2+...+anxx.+a21Xx +a22x +..+a2nx2xn(2)+.+anx,x+anx,x+...+ax?-22a+,i=l j=l把上式（2）的系数排成一个nxn矩阵(aai2..ana21a22a24=anan...a它称为二次型(1)的矩阵.因为a,=αi,i,j=1,2,…,n，所以AT=A把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，二次型的矩阵都是对称的1

1 第五章 二次型 §1 二次型及其矩阵表示 一、二次型及其矩阵表示 1 定义： 设 P 是一个数域, 一个系数在数域 P 中的 n x , , x 1  的二次齐 次多项式 2 2 2 1 2 11 1 12 1 2 1 1 22 2 2 2 ( , , , ) 2 2 2 (1) n n n n n nn n f x x x a x a x x a x x a x a x x a x          称为数域 P 上的一个 n 元二次型，简称二次型. 2 二次型的矩阵(相伴矩阵) 2 1 2 11 1 12 1 2 1 1 2 21 2 1 22 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 ( , , , ) (2) n n n n n n n n n nn n n n ij i j i j f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a x x                  把上式 (2) 的系数排成一个 nn 矩阵 , 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1                n n n n n n a a a a a a a a a A        它称为二次型(1)的矩阵.因为 a a ,i, j 1,2, ,n, ij  ji   所以 T A A  把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，二次型的矩阵都是对称的

XXauaa21X2a22aXTAX =(,X2,,x.)..anlxan2an,+ax+...+anxna+a22x+...+anxm(x..Xan+anx+...+amxnZa,x,x或f(x,x2,*,x)=XAX应该看到二次型(1)的矩阵A的元素，当ij时α=α,正是它的x,x,项的系数的一半，而a.是x项的系数，因此二次型和它的矩阵是相互唯一决定的．由此可得，若二次型f(X,X2,**,x,)= XT AX = X'BX且A=A, B=B,则 A=B.例1写出二次型f(x,,)=x-4x+2xx+4x+2x的矩阵例2写出二次型f(x,2,x，x4)=x-4xx+2xx+4x+2x的矩阵(1120)1230例3写出方阵的二次型2330(0000)(1 2 3)(x例 4f(,x2,)=(,x2,)是二次型吗？写出它的相伴31(132八x2

2 令 1 2 n x x X x                  11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 1 2 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 , , , , , , n T n n n n nn n n n n n n n n nn n n n ij i j i j a a a x a a a x X AX x x x a a a x a x a x a x a x a x a x x x x a x a x a x a x x                                   或 1 2 ( , , , ) T n f x x x X AX  应该看到二次型(1)的矩阵 A 的元素, 当 i  j 时 aij  a ji 正是 它的 i j x x 项的系数的一半, 而 aii 是 2 i x 项的系数， 因此二次型和它的 矩阵是相互唯一决定的. 由此可得, 若二次型 1 2 ( , , , ) T T n f x x x X AX X BX   且 , T T A A B B   ,则 A  B . 例 1 写出二次型 2 2 2 1 2 3 1 1 2 1 3 2 3 f x x x x x x x x x x ( , , ) 4 2 4 2      的矩阵 例 2 写出二次型 2 2 2 1 2 3 4 1 1 2 1 3 2 3 f x x x x x x x x x x x ( , , , ) 4 2 4 2      的矩阵 例 3 写出方阵 1 1 2 0 1 2 3 0 2 3 3 0 0 0 0 0             的二次型 例 4 1 1 2 3 1 2 3 2 3 1 2 3 ( , , ) ( , , ) 3 1 2 1 3 2 x f x x x x x x x x                 是二次型吗？写出它的相伴

矩阵二、线性替换1定义设xi,,x.,yi,,y,是两组文字，系数在数域P中的一组关系式[x, =Cyi +Ci2J2 +...+Cinn-X, =C2iJ+C22y2+...+C2nJn(3)[X,=Cm+Cn22++Cnny'n称为由x,x,到y,…y的一个线性替换，或简称线性替换.如果系数行列式c±0，那么线性替换(3)就称为非退化的2线性替换把二次型变成二次型令Ci1yiCunC12C21C22V2C:YCnlCn2ynCn于是线性替换（3）可以写成(x)CulC12VXC2VCulCn2...·Cm八y或者X=CY.从而把一个x,x2，",x二次型化为f(X,X2,**, X,)= XTAX =(CY) A(CY)=YT(CTAC)Y得到一个y,J2,,y,的二次型BY，其中B=CTAC这里不要求线性替换X=CY是非退化的，也就是说，3

3 矩阵 二、线性替换 1 定义 设 n n x , , x ; y , , y 1  1  是两组文字，系数在数域 P 中的一组关系式                    n n n n n n n n n n x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y     1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 , , (3) 称为由 n x , , x 1  到 n y , , y 1  的一个线性替换，或简称线性替换.如果系数 行列式 cij  0,那么线性替换(3)就称为非退化的. 2 线性替换把二次型变成二次型. 令                               n n n n n n n y y y Y c c c c c c c c c C         2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 , , 于是线性替换（3）可以写成                                            n n n n n n n n y y y c c c c c c c c c x x x          2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 或者 X  CY .从而把一个 1 2 , , , n x x x 二次型化为 1 2 ( , , , ) ( ) ( ) ( ) T T T T n f x x x X AX CY A CY Y C AC Y    得到一个 n y , y , , y 1 2  的二次型 T Y BY ，其中 T B C AC  这里不要求线性替换 X  CY 是非退化的，也就是说

线性替换X=CY把二次型f(x,2",X)=XTAX化为一个iy,,y,的二次型TBY例5对于二次型f(x）=x-4xx+2x+4x+2xx,=yi做线性替换=2化为g(1,J2,)=-4yi2+4，[x=0但是由g(y,y2,y)=-4yy+4却不能化成[x=y]f(x,x2,)=x-4x2+2x+4x+2x，原因就是线性替换X2=y2[x=0是退化的.3非退化线性替换对于非退化的线性替换X=CY来讲(1) —方面,(X,X2,"*,x,)=XTAX =(CY) A(CY)=YT(CTAC)Y(2）另一方面，令g(y,y2,,y,)=Y'BY，B=CTAC，我们可以得到一个非退化的线性替换Y=C-'X，g(i,J2,*", y,) =YT BY =(C-"X)" B(C-"X)=X"(C-") B(C-X)= XT[(C-")'BC-"JX = X[(C-")(CT AC)C-"JX = XTAX这里 A=(C-1) BC-1 =(CT)'BC-1A

4 线性替换 X  CY 把二次型 1 2 ( , , , ) T n f x x x X AX  化为一个 n y , y , , y 1 2  的二次型 T Y BY 例 5 对于二次型 2 2 2 1 2 3 1 1 2 1 3 2 3 f x x x x x x x x x x ( , , ) 4 2 4 2      做线性替换 1 1 2 2 3 0 x y x y x         化为 2 2 1 2 3 1 1 2 2 g y y y y y y y ( , , ) 4 4    ， 但是由 2 2 1 2 3 1 1 2 2 g y y y y y y y ( , , ) 4 4    却不能化成 2 2 2 1 2 3 1 1 2 1 3 2 3 f x x x x x x x x x x ( , , ) 4 2 4 2      ，原因就是线性替换 1 1 2 2 3 0 x y x y x         是退化的. 3 非退化线性替换 对于非退化的线性替换 X  CY 来讲, (1) 一方面， 1 2 ( , , , ) ( ) ( ) ( ) T T T T n f x x x X AX CY A CY Y C AC Y    (2) 另一方面，令 1 2 ( , , , ) T n g y y y Y BY  , T B C AC  , 我们可以得 到一个非退化的线性替换 1 Y C X  , 1 1 1 1 1 2 ( , , , ) ( ) ( ) ( ) ( ) T T T T n g y y y Y BY C X B C X X C B C X        1 1 1 1 [( ) ] [( ) ( ) ] T T T T T T X C BC X X C C AC C X X AX        这里 1 1 1 1 ( ) ( ) T T A C BC C BC      

三、矩阵的合同关系1定义数域F上两个n阶矩阵A，B称为合同的，如果有数域F上可逆的nxn矩阵C，使得B=CTAC2性质合同是矩阵之间的一个关系，具有以下性质：(1)自反性：任意矩阵A都与自身合同(2)对称性：如果B与A合同，那么A与B合同(3)传递性：如果A与A合同，A与A合同，那么A与A合同3两个矩阵是否合同与所在数域有关例7 4-(α 9)与B-( )在实数域上不合同，在复数域上合同(0 1)分析: 4-(α 9)-(6 9 )6 9)-c'BCc在实数域上不成立，在复数域上成立4等价、合同的关系A与B合同，可以推出A与B等价；反之不然

5 三、矩阵的合同关系 1 定义 数域 F 上两个 n 阶矩阵 A，B 称为合同的，如果有数域 F 上 可逆的 nn 矩阵 C ,使得 T B C AC  2 性质 合同是矩阵之间的一个关系，具有以下性质: (1) 自反性: 任意矩阵 A 都与自身合同. (2) 对称性:如果 B 与 A 合同,那么 A 与 B 合同. (3) 传递性:如果 A1 与 A2 合同, A2 与 A3 合同, 那么 A1 与 A3 合同 3 两个矩阵是否合同与所在数域有关 例 7 1 0 0 1 A        与 1 0 0 1 B          在实数域上不合同，在复数域上合同 分析： 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 T i i A C BC i i                        在实数域上不成立，在复数域上成立 4 等价、合同的关系 A 与 B 合同, 可以推出 A 与 B 等价；反之不然