第五章相似矩阵与二次型 二、向量的长度及性质 定义5.12非负数V[,个=V(+++称为向量 a的长度（或范数），记作a. 向量的长度具有下述性质： 1.非负性当a≠0时，a>0;当a=0时，a=0; 2.齐次性a=2‖la: 3.三角不等式a+≤a+:
第五章 相似矩阵与二次型 定义5.1.2 2 2 2 1 2 , . n a a a 非负数 = + + + 称 长度(或范数 量 的 ) 为向 ，记作 向量的长度具有下述性质： 1. 0 , 0; 0 , 0; 非负性 当 = = 时 当 时 2. ; 齐次性 = 3. . 三角不等式 + + 二、向量的长度及性质
第五章相似矩阵与二次型 当a=1时，称为单位向量 如果‖al≠0，有长度的概念得 a就是一个单位向量， 用非零数 去乘以向量a得到一个与a同方向的 单位向量，通常称为把向量a单位化， 当a≠0，B≠0时，0=arccos [a,] lall 称为n维向量a与B的夹角
第五章 相似矩阵与二次型 当 = 1 , . 时 称 为单位向量 1 0, . 如果 有长度的概念得 就是一个单位向量 1 . 用非零数 去乘以向量 得到一个与 同方向的 单位向量，通常称为把向量 单位化 , 0, 0 , arccos n . 当 = 时 称为 维向量 与 的夹角
第五章相似矩阵与二次型 三、正交向量组的概念及求法 当a,B]=0时，称向量a与B正交 定义5.1.3一组两两正交的非零向量称为正交向量 组.若正交向量组中每个向量都是单位向量，则称该 向量组为标准正交向量组. 定理5.1.1正交向量组是线性无关向量组. 证明设有a1,2,.,&m是正交向量组，若有 k1a1+k2a2+.+knam=0 用4，与等式两边做内积，得
第五章 相似矩阵与二次型 定义5.1.3 一组两两正交的非零向量称为正交向量 组．若正交向量组中每个向量都是单位向量,则称该 向量组为标准正交向量组. 三、正交向量组的概念及求法 定理5.1.1 正交向量组是线性无关向量组. 证明 1 1 2 2 0 m m k k k + + + = , i 用a 与等式两边做内积 得 1 2 , , , 设有 m 是正交向量组，若有 当[ , ] 0 = 时，称向量 与 正交
第五章相似矩阵与二次型 k[a,ac]=0i=1,2,.,m 由c≠0，有[a,>0,从而得 k,=0i=1,2,.,m. 故c,c2,Cn线性无关 若a1,a2,a,是r维向量空间V的一个基，若C41,&2, .,心，两两正交，则称a,2,.,C,是向量空间V的一 个正交基，由单位向量组成的正交基称为标准正交 基（或正交规范基）
第五章 相似矩阵与二次型 0, [ , ] 0, 由 i i i 有 从而得 0 1,2, , . i k i m = = 1 2 , , , . 故 m 线性无关 [ , ] 0 1,2, , i i i k i m = = 1 2 1 2 1 2 , , , , , , , , , ( ). r r r r V V 若 是 维向量空间 的一个基，若 两两正交，则称 是向量空间 的一 个正交基，由单位向量组成的正交基 标准正交 基 或正交规范基 称为
第五章相似矩阵与二次型 将正交基g,a2,a,中每个a,单位化后得到 的r个单位向量 则e,e2.,e,即为V的一个标准正交基， Γ2 0 例如： 为R的一组正交基.将它们单位化得
第五章 相似矩阵与二次型 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 , , , 1 1 1 , , . r i r r r r r e e e e e e V = = = 将正交基 中每个 单位化后得到 的 个单位向量 ， ， ， 则 ， 即为 的一个标准正交基 1 2 3 3 2 0 1 0 , 1 , 0 1 0 2 R . − = = = 例如： 为 的一组正交基 将它们单位化得