第二十一讲广义特征值与极小极大原理
第二十一讲 广义特征值与极小极大原理 1
一、广义特征值问题 1、定义：设A、B为n阶方阵，若存在数，，使得方程Ax=入Bx存在 非零解，则称入为A相对于B的广义特征值，x为A相对于B的属于 广义特征值，的特征向量。 。是标准特征值问题的推广，当B=I(单位矩阵)时，广义特征值 问题退化为标准特征值问题。 ●特征向量是非零的 ●广义特征值的求解 (A-B)x=0或者(2B-A)x=0 2
一、 广义特征值问题 1、定义：设 A、B 为 n 阶方阵，若存在数λ ，使得方程Ax Bx = λ 存在 非零解，则称λ 为 A 相对于 B 的广义特征值，x 为 A 相对于 B 的属于 广义特征值λ 的特征向量。 ●是标准特征值问题的推广，当 B＝I（单位矩阵）时，广义特征值 问题退化为标准特征值问题。 ●特征向量是非零的 ●广义特征值的求解 (A Bx 0 −λ = ) 或者 (λ− = B Ax 0 ) 2
→特征方程dt(A-入B)=0 求得入后代回原方程Ax=入Bx可求出x 本课程进一步考虑A、B厄米且为正定矩阵的情况。 2、等价表述 (1)B正定，B存在→BAx=入x,广义特征值问题化为了标准 特征值问题，但一般来说，BA一般不再是厄米矩阵。 (2)B厄米，存在Cholesky分解，B=GGH,G满秩 Ax=AGGx 令G"x=y 则 G-A(G")y=Ay 也成为标准特征值问题。 3
→ 特征方程 det A B 0 ( −λ =) 求得λ 后代回原方程Ax Bx = λ 可求出 x 本课程进一步考虑 A、B 厄米且为正定矩阵的情况。 2、等价表述 （1）B 正定， 1 B− 存在 → 1 B Ax x − = λ ，广义特征值问题化为了标准 特征值问题，但一般来说， 1 B A− 一般不再是厄米矩阵。 （2）B 厄米，存在 Cholesky 分解， H B GG = ，G 满秩 H Ax GG x = λ 令 H Gx y = 则 ( ) 1 1 H G AG y y − − = λ 也成为标准特征值问题。 3
GA(G)厂为厄米矩阵，广义特征值是实数，可以按大小顺序排 列入1≤入2≤…≤入。，一定存在一组正交归一的特征向量，即存在 y1y2…,y.满足 G-A(G")y:=Ay -8-0 还原为x=(G)y(1,2…,n,则 4
( ) 1 1 H G AG − − 为厄米矩阵，广义特征值是实数，可以按大小顺序排 列 λ ≤λ ≤ ≤λ 12 n ，一定存在一组正交归一的特征向量，即存在 12 n y ,y ,y 满足 ( ) 1 1 H G AG y y i i − − = λ H i j ij 1 ij y y 0 ij = =δ = ≠ 还原为 ( ) 1 H i i xG y − = (i=1,2,,n)，则 4
,=(cc=,=8,-日 i=j (带权正交) i≠j 二、瑞利商 AB为n阶E米矩阵，瓦B正宽，彩()-一心K0)为A 相对于B的瑞利商。 设，X,为A相对于B的广义特征值和特征向量，且入≤2≤··≤ λ X1,X2…,Xn线性无关，所以，x∈C",存在a1,a2…,an∈C, 5
( )( ) H HH H i j i j i j ij 1 ij y y x G G x x Bx 0 ij = = = =δ = ≠ （带权正交） 二、 瑞利商 A、B 为 n 阶厄米矩阵，且 B 正定，称 ( ) ( ) H H x Ax Rx x 0 x Bx = ≠ 为 A 相对于 B 的瑞利商。 设 λi， i x 为 A 相对于 B 的广义特征值和特征向量，且 λ1≤λ2≤···≤ λn 12 n x ,x ,x 线性无关，所以， n ∀ ∈x C ，存在 12 n a ,a ,a C ∈ ， 5