第十七讲矛盾方程（组）的解--最小二乘法
第十七讲 矛盾方程（组）的解---最小二乘法 1
一、从实验数据处理谈起 设有一组实验数据t1,s1),(2, S2),…,(n,Sn),希望由实验数 据拟合给定规律，从而测出待测量 的有关参数。 假定规律为：s=Ct+C2,由于存在误差S1≠C4+C2(i=1,2,…,n) 令 2
一、从实验数据处理谈起 设有一组实验数据(t1，s1)，(t2， s2)，……，(tn，sn)，希望由实验数 据拟合给定规律，从而测出待测量 的有关参数。 假定规律为： 2 s=c1t c + ，由于存在误差 i 2 ≠ + t c i 1 s c (( 1,2, , ) i n = 令 t s 2
A= 则：Ax=b实际无解，或者说矩阵 方程Ax=b成为矛盾方程（不自洽、非相容），虽说无解，但在物理上 看，我们需要而且也理当有“解”。怎么办？ 一 般处理是，定义一种目标函数，例如： E(G,9)=∑w(s-c4-c2)2 w,>0为加权系数 使误差E(c,S)最小化。w=1=1~n)时E(G,c)广Ax-b6 3
1 1 2 2 1 2 1 1 , , 1 n n t s t s c A xb c t s = = = ，则：Ax=b 实际无解，或者说矩阵 方程 Ax=b 成为矛盾方程（不自洽、非相容），虽说无解，但在物理上 看，我们需要而且也理当有“解”。怎么办？ 一般处理是，定义一种目标函数，例如： 2 1 2 1 2 1 (, ) ( ) 0 n ii i i i E c c w s ct c w = = −− > ∑ 为加权系数 使误差 1 2 Ec c (, )最小化。wi=1(i=1～n)时 2 1 2 2 E c c Ax b (, )＝ − 3
二、最小二乘法（解） 对于矛盾方程Ax=b,最小二乘法是求其“解”的一种方法。即求 使Ax-bl2=min的解。 引理：设A∈Cmx”,A{1,3}由如下方程的通解构成： AX=A43)→A1,3}={A3)+(I-A3》A)ZZ∈Cm} 其中，A1,3)为A{1,3}中的某个矩阵。 证：1·方程既然相容，设X是其某个解，则 (①)AXA=AA,3)A=A→X∈A{1 (i)(AX)H=(AA13)H=AA1,3)=AX→X∈A3} 4
二、 最小二乘法（解） 对于矛盾方程 Ax=b，最小二乘法是求其“解”的一种方法。即求 使 Ax b − =2 min的解。 引理： m n A C × 设 ∈ ,A{1,3}由如下方程的通解构成： (1,3) (1,3) (1,3) {1,3} { ( ) } n m AX AA A A I A A Z Z C × = → = +− ∈ 其中，A(1,3)为 A{1,3}中的某个矩阵。 证：1。 方程既然相容，设 X 是其某个解，则 (1,3) (1,3) (1,3) ( ) {1} ( ) ( ) ( ) {3} H H i AXA AA A A X A iii AX AA AA AX X A = =→∈ = = = →∈ 4
即方程的解必在A{1,3}中。 2设X为A的一个{1,3}-逆矩阵，则 AX=AAAX=(A3)(AX)月 =(4)”AXA =(43)“(AX4A) =(AAL3）”=A43) 即，A的{1,3}-逆矩阵必满足方程AX=AA1,3) 5
即方程的解必在 A{1,3}中。 2 。 设 X 为 A 的一个{1,3}-逆矩阵，则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) iii (1,3) (1,3) (1,3) (1,3) (1,3) (1,3) ( ) H H H H HH H H H AX AA AX AA AX A AX A A AXA AA AA = = = = = = 即，A 的{1,3}-逆矩阵必满足方程 AX=AA(1,3) 5