西安电子科技大学：《高等代数》课程PPT教学课件（讲稿）第七章 线性变换 7.3 线性变换的矩阵

西安毛子科技大学XIDIAN UNIVERSITYs 7.3线性变换的矩阵线性变换与基！二、线性变换与矩阵三、相似矩阵

一、线性变换与基 二、线性变换与矩阵 §7.3 线性变换的矩阵 三、相似矩阵

西安毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSITY线性变换与基1：设i,82，,8n是线性空间V的一组基，α为V的线性变换.则对任意 εV 存在唯一的一组数Xi,X2,.,x, E P, 使 5=Xjei +X22 +...+x,en从而, 0(5) = x,o(s)+ x20(c2)+... +x,o(cn).由此知，()由 (c),α(c2),",α(n)完全确定.所以要求V中任一向量在下的象，只需求出V的组基在下的象即可

一、 线性变换与基 的线性变换. 则对任意  V 存在唯一的一组数 1．设    1 2 , , , n 是线性空间V的一组基，  为V x x x P 1 2 , , , , n  使 1 1 2 2 n n     = + + + x x x 从而， 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ). n n         = + + + x x x 由此知，  ( ) 由       ( ), ( ), , ( ) 1 2 n 完全确定. 一组基在 下的象即可. 所以要求V中任一向量在  下的象，只需求出V的

西安毛子科技大学XIDIAN UNIVERSITY2．设6j,62,,,是线性空间V的一组基，，为V的线性变换，若 (s,)=t(c;)，i=1,2,,n.则 =t.由此知，一个线性变换完全由它在一组基上的作用所决定.3．设81,2，,8n是线性空间V的一组基，对V中任意n个向量αi,α2，",αn，都存在线性变换使i=1,2,...,n(8;) = α

2．设    1 2 , , , n 是线性空间V的一组基，  , 为 V的线性变换，若 ( ) ( ), 1,2, , . i i     = =i n 则   = . 由此知，一个线性变换完全由它在一组基上的作 用所决定. ( ) , 1,2, , i i   = =i n 1 2 , , , , 任意n个向量   n 都存在线性变换  使 3．设    1 2 , , , n 是线性空间V的一组基，对V中

西安毛子科技大学-XIDIAN UNIVERSITY由2与3即得定理1设,2,8n为线性空间V的一组基对V中任意n个向量α,α2，,αn，存在唯一的线性变换，使α(ε.)=α,i=1,2,.,n

由2与3即得 定理1 设    1 2 , , , n 为线性空间V的一组基， 对V中任意n个向量    1 2 , , , , n 存在唯一的线性 ( ) 1,2, , . i i   = = ， i n 变换  , 使

西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY二、线性变换与矩阵1.线性变换的矩阵设8,82,,8为数域P上线性空间V的一组基，为V的线性变换.基向量的象可以被基线性表出,设0(1)=α11e1 +α2162 +...+αnn0(62) = α1261 +α2262 +... +αn2EnO(en) =αinGi +α2ne2 +... +annEn用矩阵表示即为0(81,82,*,8n) =(081,082,"..,08n) =(81,82,.,8n)A

设    1 2 , , , n 为数域P上线性空间V的一组基，  为V的线性变换. 基向量的象可以被基线性表出,设 用矩阵表示即为 11 1 21 2 1 12 1 22 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) n n n n n n n nn n                          = + + +  = + + +   = + + +  1 2 二、 线性变换与矩阵 1．线性变换的矩阵           ( 1 2 1 2 1 2 , , , , , , , , , n n n ) = = ( ) ( ) A