西安毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSITYS6.5线性子空间一、线性子空间二、生成子空间
一、线性子空间 二、生成子空间 §6.5 线性子空间
西要毛子律技大學XIDIAN UNIVERSITY线性子空间1、线性子空间的定义设V是数域P上的线性空间，集合W_V(W≠の)若W对于V中的两种运算也构成数域P上的线性空间，则称W为V的一个线性子空间，简称为子空间注：①线性子空间也是数域P上一线性空间，它也有基与维数的概念②任一线性子空间的维数不能超过整个空间的维数
一、线性子空间 1、线性子空间的定义 设V是数域P上的线性空间，集合 W V W ( ) 若W对于V中的两种运算也构成数域P上的线性空间, 则称W为V的一个线性子空间，简称为子空间． 注：① 线性子空间也是数域P上一线性空间，它也 ② 任一线性子空间的维数不能超过整个空间的 有基与维数的概念. 维数
西安毛子科技大学-XIDIAN UNIVERSITY2、线性子空间的判定定理：设V为数域P上的线性空间，集合WV(W ≠の)，若W对于V中两种运算封闭，即Vα,βeW, 有 α+βeW;VαeW,VkP, 有 kαeW茶则W是V的一个子空间。推论：V为数域P上的线性空间,W二V(W+の),则W是V的子空间Vα,βeW,Va,beP,aα+bβeW
2、线性子空间的判定 ( ) W ，若W对于V中两种运算封闭，即 + , , ; W W 有 则W是V的一个子空间． 定理：设V为数域P上的线性空间，集合 W V W k P k W , , 有 + , , , , . W a b P a b W 推论：V为数域P上的线性空间, W V W ( ), 则 W是V的子空间
西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY例1设V为数域P上的线性空间，只含零向量的子集合W=O?是V的一个线性子空间，称之为V的零子空间．线性空间V本身也是V的一个子空间，这两个子空间有时称为平凡子空间，而其它的子空间称为非平凡子空间例2设V为所有实函数所成集合构成的线性空间，则R[x]为V的一个子空间。例3P[x],是P[x]的的线性子空间
例2 设V为所有实函数所成集合构成的线性空间, 则R[x]为V的一个子空间． 例3 P[x]n是P[x]的的线性子空间． 例1 设V为数域P上的线性空间，只含零向量的 子集合 是V的一个线性子空间，称之为V的 零子空间．线性空间V本身也是V的一个子空间. 这两个子空间有时称为平凡子空间，而其它的 子空间称为非平凡子空间． W = {0}
西安毛子科技大学-XIDIANUNIVERSITY例4n元齐次线性方程组aiiXi +ai2X, +... +ainXn = 0a21Xi +a22X2 +... +a2nxn = 0(*)asiX +as2X2 +...+asnxn=0的全部解向量所成集合W对于通常的向量加法和数量乘法构成的线性空间是n维向量空间Pn的一个子空间，称W为方程组(＊)的解空间注 ①（＊)的解空间W的维数=n一秩(A),A=(aj)sxn ;②（＊）的一个基础解系就是解空间W的一组基
的全部解向量所成集合W对于通常的向量加法和数 ① (＊)的解空间W的维数＝n－秩(A)， A a = ( )ij s n ； 例4 n元齐次线性方程组 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 0 n n n n s s sn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x + + + = + + + = + + + = (＊) 注 ② (＊)的一个基础解系就是解空间W的一组基. 空间，称W为方程组(＊)的解空间． 量乘法构成的线性空间是n维向量空间Pn的一个子