西安电子科技大学：《高等代数》课程PPT教学课件（讲稿）第七章 线性变换 7.4 特征值与特征向量

西安毛子科技大学二XIDIAN UNIVERSITYS7.4特征值与特征向量一、特征值与特征向量二、特征值与特征向量的求法三、特征子空间四、特征多项式的有关性质

一、特征值与特征向量 二、特征值与特征向量的求法 §7.4 特征值与特征向量 三、特征子空间 四、特征多项式的有关性质

西安毛子律技大学XIDIAN UNIVERSITY引入有限维线性空间V中取定一组基后，V的任一线性变换都可以用矩阵来表示.为了研究线性变换性质希望这个矩阵越简单越好，如对角矩阵，从本节开始，我们主要讨论，如何选择一组适当的基，使V的某个线性变换在这组基下的矩阵就是一个对角矩阵?

从本节开始，我们主要讨论，如何选择一组适当 的基，使V的某个线性变换在这组基下的矩阵就是 一个对角矩阵? 引入 有限维线性空间V中取定一组基后，V的任一线性 希望这个矩阵越简单越好，如对角矩阵. 变换都可以用矩阵来表示. 为了研究线性变换性质

西安毛子科技大枣三XIDIAN UNIVERSITY一、特征值与特征向量定义：设是数域P上线性空间V的一个线性变换若对于P中的一个数α，存在一个V的非零向量5，使得(5)= ,则称2.为α的一个特征值，称为的属于特征值2.的特征向量

设  是数域P上线性空间V的一个线性变换， 则称 0 为  的一个特征值，称  为  的属于特征值 0     ( ) , = 一、特征值与特征向量 定义： 若对于P中的一个数 存在一个V的非零向量  , 0  , 使得 的特征向量. 0

西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY注：①几何意义：特征向量经线性变换后方向保持相同(>0)或相反(<0).=0 时，()=0.②若是的属于特征值孔.的特征向量，则k（keP,k≠O)也是的属于α.的特征向量( ： o(k)= ko()=k()= 2,(k) )由此知，特征向量不是被特征值所唯一确定的，但是特征值却是被特征向量所唯一确定的，即若()=且()=，则 =:

① 几何意义：特征向量经线性变换后方向保持 由此知，特征向量不是被特征值所唯一确定的， ( ) 0 0         ( ) ( ) ( ) ( ) k k k k = = = 注： 相同 ( 0) 0  或相反 0 ( 0).   0  = 0 , 时  ( ) = 0. ② 若  是  的属于特征值 0 的特征向量，则 k k P k  ( , 0)   也是  的属于 的特征向量. 0 但是特征值却是被特征向量所唯一确定的，即 若       ( ) ( ) = = 且 ，则   =

西安毛子科技大学二XIDIANUNIVERSITY二、特征值与特征向量的求法分析：设 dimV=n，j,82,,8n是V的一组基，线性变换在这组基下的矩阵为A设,是的特征值，它的一个特征向量在基Xo181,82,8n下的坐标记为XonXo1则()在基81,82,,8n下的坐标为AXon

设 dim , , , , V n =    1 2 n 是V的一组基， 线性变换  在这组基下的矩阵为A. 1 2 , , , n    下的坐标记为 01 0 , n x x         二、特征值与特征向量的求法 分析： 设 0 是  的特征值，它的一个特征向量  在基 则  ( ) 在基 下的坐标为 01 0 , n x A x         1 2 , , , n   