西安毛子科技大学XIDIAN UNIVERSITYS 6.2线性空间的定义与简单性质一、线性空间的定义线性空间的简单性质
一、线性空间的定义 二、线性空间的简单性质 §6.2 线性空间的定义与简单性质
西安毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSIT在第三章S2中，我们讨论了数域P上的n维向量空间Pn，定义了两个向量的加法和数量乘法：(a,az,..",an)+(bi,b2,,bn)=(a, +b,a, +b,",an +bn)k(ar,az,.,an)=(ka,,ka,...,ka,), ke P而且这两种运算满足一些重要的规律，如1α = αα+β=β+αk(lα) = (kl)α(α+β)+=α+(β+)(k + l)α = kα + lαα+0=αα+(-α)=0k(α + β)= kα +kβVα,β,ye p", Vk,le P
1 2 1 2 1 1 2 2 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) n n n n a a a b b b a b a b a b + = + + + 1 2 1 2 ( , , , , ) ( , , ), n n k a a a ka = ka ka k P 而且这两种运算满足一些重要的规律,如 空间Pn，定义了两个向量的加法和数量乘法： + = + 在第三章§2中，我们讨论了数域P上的n维向量 + = 0 ( ) ( ) + + = + + + − = ( ) 0 1 = k l kl ( ) ( ) = ( ) k l k l + = + k k k ( ) + = + , , , , n P k l P
西安毛子科技大学IDIANIINIVERSIT数域P上的一元多顶式环P[x|中，定义了两个多项式的加法和数与多项式的乘法，而且这两种运算同样满足上述这些重要的规律，即f(x)+ g(x) = g(x)+ f(x)(f(x)+g(x)+h(x)= f(x)+(g(x)+h(x)f(x)+0 = f(x)f(x)+(-f(x)=0Vf(x),g(x), h(x) e P[xl,Vk,lep1f(x) = f(x)k()f(x)=(kl)f(x)(k +l)f(x) = kf(x)+lf(x)k(f(x)+ g(x)) = kf(x)+ kg(x)
同样满足上述这些重要的规律，即 ( ), ( ), ( ) [ ], , f x g x h x P x k l P f x g x g x f x ( ) ( ) ( ) ( ) + = + 数域P上的一元多顶式环P[x]中，定义了两个多 项式的加法和数与多项式的乘法，而且这两种运算 ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ( ) ( )) f x g x h x f x g x h x + + = + + k l f x kl f x ( ) ( ) ( ) ( ) = 1 ( ) ( ) f x f x = f x f x ( ) ( ( )) 0 + − = f x f x ( ) 0 ( ) + = ( ) ( ) ( ) ( ) k l f x kf x lf x + = + k f x g x kf x kg x ( ( ) ( )) ( ) ( ) + = +
西安毛子科技大学-XIDIAN UNIVERSITY一、线性空间的定义设V是一个非空集合，P是一个数域，在集合V中定义了一种代数运算，叫做加法：即对Vα,βEV,在V中都存在唯一的一个元素与它们对应，称为α与β的和，记为=α+β；在P与V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法：即VαV,VkP,在V中都存在唯一的一个元素与它们对应，称为k与α的数量乘积，记为=kα.如果加法和数量乘法还满足下述规则，则称V为数域P上的线性空间：
一、线性空间的定义 设V是一个非空集合，P是一个数域，在集合V中 定义了一种代数运算，叫做加法：即对 , V ， 在V中都存在唯一的一个元素 与它们对应，称 为 与 的和，记为 = + ；在P与V的元素之间还 定义了一种运算，叫做数量乘法：即 V k P , , 在V中都存在唯一的一个元素δ与它们对应，称δ为 k与 的数量乘积，记为 = k . 如果加法和数量乘 法还满足下述规则，则称V为数域P上的线性空间：
西安毛子科技大学XIDIAN UNIVERSITYVa,β,yev加法满足下列四条规则：① α+β=β+α② (α+β)+=α+(β+)③在V中有一个元素0，对VαV，有α+0=α（具有这个性质的元素0称为V的零元素）④对VαEV，都有V中的一个元素β，使得α＋β=0；（β称为α的负元素）数量乘法满足下列两条规则：@lα=α@ k(lα) = (kl)α数量乘法与加法满足下列两条规则： (k +l)α = kα+lα③ k(α+β)=kα+kβ
加法满足下列四条规则： ① + = + ⑤ 1 = ⑥ k l kl ( ) ( ) = 数量乘法与加法满足下列两条规则： ⑦ ( ) k l k l + = + （具有这个性质的元素0称为V的零元素） 数量乘法满足下列两条规则 : ② ( ) ( ) + + = + +⑧ k k k ( ) + = + , , V ④ 对 V, 都有V中的一个元素β，使得 + = 0 ;（β称为 的负元素） ③ 在V中有一个元素0，对 + = V, 0 有