西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITYs5.1二次型的矩阵表示一、n元二次型非退化线性替换二、三、矩阵的合同四、小结
一、n元二次型 二、非退化线性替换 三、矩阵的合同 四、小结 §5.1 二次型的矩阵表示
西安毛子科技大学XIDIAN UNIVERSITY问题的引入：解析几何中中心与坐标原点重合的有心二次曲线f = ax? + 2bxy + cy?选择适当角度(x = x'coso- y'singθ，逆时针旋转ly = x'cose+ y'sine坐标轴f =a'x2 +c'y(标准方程)
问题的引入: 解析几何中 选择适当角度 θ,逆时针旋转 坐标轴 (标准方程) 中心与坐标原点重合的有心二次曲线 2 2 f ax bxy cy = + + 2 cos sin cos sin x x y y x y = − = + 2 2 f a x c y = +
西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY代数观点下二次齐次多项式f(x,X2,.",x.)X, =Ciyi +Ci22 +...+Ciny'n作适当的X, =Cuyi +Ci2y2 +..+Cin'n非退化线性替换(Xn=Cnii+Cn22 +...+CnnJ'n只含平方项的多项式(标准形)
代数观点下 作适当的 非退化线 性替换 只含平方项的多项式 二次齐次多项式 1 11 1 12 2 1 2 11 1 12 2 1 1 1 2 2 n n n n n n n nn n x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y = + + + = + + + = + + + (标准形) 1 2 ( , , , ) n f x x x
西安毛子科技大枣三XIDIAN UNIVERSITY一、n元二次型a, e P,i, j=1,2,...,n,1、定义：设P为数域，n个文字Xi,X2,,Xn的二次齐次多项式f(xi,X2,",xn) = ax +2a24jx, +...+2ainjxn+a2x? +.....+2a2nxex.(1+assx? +...+2aanxgxn+amtn称为数域P上的一个n元二次型
一、n元二次型 1、定义：设P为数域， 称为数域P上的一个n元二次型． ① 2 1 2 11 1 12 1 2 1 1 ( , , , ) 2 2 n n n f x x x a x a x x a x x = + + + n个文字 x x x 1 2 , , , n 的二次齐次多项式 , , 1,2, , , ij a P i j n = 2 22 2 2 2 2 n n + + + a x a x x 2 33 3 3 3 2 n n + + + a x a x x + 2 nn n + a x
西安毛子科技大学XIDIAN UNIVERSITY注意1)为了计算和讨论的方便,式①中x(i<i)的系数写成2aj2)式①也可写成f(x,x2,x,)=Zaix) +2 Eajxx;i=-11<i<jSn
注意 2) 式① 也可写成 2 1 2 1 1 ( , , , ) 2 n n ii i ij i j i i j n f x x x a x a x x = = + 1) 为了计算和讨论的方便,式①中 x i j ij( ) 的系数 写成 2 . ij a