西安毛子科技大枣三XIDIAN UNIVERSITYs 8.4矩阵相似的条件定理：数字矩阵A,B相似αE-A与αE-B等价
§8.4 矩阵相似的条件 定理： 数字矩阵 A B E A E B , 相似 − − 与 等价
西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY引理1：设P为数域 A,Bpxn,若有 P,Q,pmn使aE-A=P(aE-B)Q①则A与B相似。证： 由 P(αE-B)Ω= aP,EQ-P,BQo= PQ- PBQ = E- A得PQ=E，P,BQ=A即 P,=Q-，A=Q"BQ．：A与B相似
设P为数域 A B P , , n n 若有 0 0 , ， n n P Q P 则A与B相似. 证：由 ( ) P E B Q 0 0 − = − P Q P BQ 0 0 0 0 = − E A 得 0 0 0 0 P Q E P BQ A = = , 即 1 0 0 P Q , − = 引理1： ( ) 使 E A P E B Q − = − 0 0 ① ∴ A与B相似. 1 0 0 A Q BQ . − = = − P EQ P BQ 0 0 0 0
西安毛子科技大枣二XIDIAN UNIVERSITY引理2：对任意 AE pnxn及任意 -矩阵U(a),V(a)一定存在-矩阵 Q(a),R(a)及 Uo,V pmn使 U(a)=(aE-A)Q(a)+U②V(a)= R(a)(aE - A)+V?
对任意 A P n n 及任意 -矩阵 U V ( ), , ( ) ( ) ( ) ( ) 使 U E A Q U = − + 0 ② ( ) ( )( ) V R E A V = − + 0 ③ 一定存在 -矩阵 Q R ( ), ( ) 及 0 0 , , n n U V P 引理2：
西安毛子律技大学XIDIANUNIVERSIT证: 设 U(a)=D,a"+D,am-I +..+Dm-1a+ Dm这里 Do,D,.,Dm E Pmn, 且 D 0.i) 若m=0，则令 Q(2)=0，U。=Do.ii）若m>0，设Q(2) =Q,am- +Q,am-2 + ..+Qm-2a +Qm-1,这里 Q;εPmxn 为待定矩阵．于是(aE-A)Q(a)=Qa" +(Q, - AQ)am-1 +...+(Qx - AQk-1)am-k + +(Qm-1 - AQm-2)a - AQm
( E A Q − ) ( ) 证： 这里 0 1 , , , , 且 n n D D D P m 0 D 0. ( ) 1 0 1 1 , m m U D D D D m m − 设 = + + + + − i) 若 m = 0, 则令 ( ) 0 0 Q U D = = 0, . ii）若 m 0, 设 1 2 0 1 2 1 ( ) , m m Q Q Q Q Q m m − − = + + + + − − 这里 为待定矩阵. n n Q P i 于是 ( ) 1 0 1 0 m m Q Q AQ − = + − + ( 1 1 2 1 ) ( ) m k Q AQ Q AQ AQ k k m m m − + − + + − − − − − −
西安毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSITY要使①式成立，只需取Q. = DQ. = D.Q - AQ. = D,Q = D, + AQoQk - AQk-1 = DkQk = D, + AQk-1即Qm-11_ AQm=2 = Dm-1Qm-1 = Dm-1 + AQm-2-AQm-1 +U.= D,U. = Dm + AQ.nm即可。同理可证②
要使①式成立，只需取 0 0 1 0 1 1 1 2 1 1 0 k k k m m m m m Q D Q AQ D Q AQ D Q AQ D AQ U D − − − − − = − = − = − = − + = 即 0 0 1 1 0 1 1 1 2 0 1 k k k m m m m m Q D Q D AQ Q D AQ Q D AQ U D AQ − − − − − = = + = + = + = + 即可. 同理可证②