西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITYS6.6子空间的交与和一、子空间的交二、子空间的和三、子空间交与和的有关性质
§6.6 子空间的交与和 一、子空间的交 二、子空间的和 三、子空间交与和的有关性质
西安毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSITY一、子空间的交1、定义设Vi、V,为线性空间V的子空间，则集合VnV, =(a|aeV且aeV)也为V的子空间，称之为V,与V,的交空间事实上，:0eV,0eV2,:.0eVnV,*Q任取α,βVnV2,即 α,βV,且α,βeV2,则有 α+βeV,α+βV2,α+βeVnV,同时有 kαV,kαV2,:: kαVnV,VkP故 VnV,为V的子空间
也为V的子空间， 1 2 1 2 V V a a V a V = { | } 且 设V1、V2为线性空间V的子空间，则集合 一 、子空间的交 1、定义 任取 1 2 1 2 , , , , , , V V V V 即 且 1 2 1 2 则有 + + + V V V V , , 同时有 1 2 1 2 k V k V k V V k P , , , 故 为V的子空间. V V 1 2 1 2 1 2 事实上， 0 ,0 , 0 V V V V 称之为V1与V2的交空间
西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY显然有，VnV,=V,nV,(nv)nv =Vn(V,nv)2、推广多个子空间的交Vi,V2,,V为线性空间V的子空间，则集合Vnv,n...nv, =Ov, ={αaaeV,i =1,2,3,..,si=1也为V的子空间，称为V,V2,,V、的交空间
显然有, 2、推广 多个子空间的交 1 2 1 | , 1,2,3, , s s i i i V V V V V i s = = = = 1 2 2 1 V V V V = , V V V 1 2 ,,, s 为线性空间V的子空间，则集合 1 2 3 1 2 3 ( ) ( ) V V V V V V = 也为V的子空间，称为 V V V 1 2 ,,, s 的交空间
西要毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSITY二、子空间的和1、定义设Vi、V,为线性空间V的子空间，则集合V+V, =(a, +a, la, eVi,a, eV2)也为V的子空间，称之为V,与V,的和空间事实上,:0eV,0V2,.0=0+0V+V0任取 α,βV+V2, 设 α=αj+α2,β=β, +β,其中, αi,β,Vi,α2,β, EV2,则有α+β=(αi +α2)+(β, +β2)=(αi + β)+(α, + β,)eV+V2kα =k(α, +α,) = kα, +kα, =V +V2, Vke P
二、子空间的和 1、定义 其中， 1 1 1 2 2 2 , , , , V V 则有 1 2 1 2 1 2 k k k k V V k P = + = + + ( ) , 设V1、V2为线性空间V的子空间，则集合 也为V的子空间， 1 2 1 2 1 1 2 2 V V a a a V a V + = + { | , } 称之为V1与V2的和空间. 1 2 1 2 + = + + + ( ) ( ) 任取 , , + V V 1 2 设 1 2 1 2 = + = + , , 1 1 2 2 1 2 = + + + + ( ) ( ) V V 1 2 1 2 事实上， 0 ,0 , 0 0 0 = + + V V V V
西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY显然有，V+V,=V+V(V +V2)+V, = V+(V, +V3)2、推广多个子空间的和V,V,,V为线性空间V的子空间，则集合Zv, -V+v,+..+v{α +α, +...+α, lα, eV,i =1,2,3,..,s也为V的子空间，称为V,V,…,V，的和空间
显然有, 2、推广 多个子空间的和 = + + + = 1 2 s i i | , 1,2,3, , V i s 1 2 2 1 V V V V + = + , V V V 1 2 ,,, s 为线性空间V的子空间，则集合 1 2 3 1 2 3 ( ) ( ) V V V V V V + + = + + 也为V的子空间，称为 V V V 1 2 ,,, s 的和空间. 1 2 1 s i s i V V V V = = + + +