西安毛子科技大学XIDIAN UNIVERSITYS 7.9最小多项式最小多项式的定义、最小多项式的基本性质
一、最小多项式的定义 二、最小多项式的基本性质 §7.9 最小多项式
西要毛子科技大枣XIDIAN UNIVERSITY引入由哈密尔顿一凯莱定理，VApx",f(a)=aE-AI是A的特征多项式，则 f(A)=0.因此，对任定一个矩阵 Aε P"，总可以找到一个多项式 f(x)E P[xl，使 f(A)=0.此时，也称多项式f(x)以A为根本节讨论，以矩阵A为根的多项式的中次数最低的那个与A的对角化之间的关系
由哈密尔顿―凯莱定理， , ( ) | | n n A P f E A = − 是A的特征多项式，则 f A( ) 0. = 因此，对任定一个矩阵 ，总可以找到一个 n n A P 多项式 f x P x ( ) [ ], 使 f A( ) 0. = 多项式 f x( ) 以A为根. 引入 本节讨论，以矩阵A为根的多项式的中次数最低的 那个与A的对角化之间的关系. 此时，也称
西要毛子律技大枣XIDIANUNIVERSITY一、最小多项式的定义定义：设 AεPxn,在数域P上的以A为根的多项式中，次数最低的首项系数为1的那个多项式，称为A的最小多项式
一、最小多项式的定义 定义：设 , 在数域P上的以A为根的多项 n n A P 为A的最小多项式. 式中，次数最低的首项系数为1的那个多项式，称
西要毛子科技大学一XIDIAN UNIVERSITY二、最小多项式的基本性质1.（引理1）矩阵A的最小多项式是唯一的2.（引理2）设g(x)是矩阵A的最小多项式，则f(x)以A为根 台 g(x)f(x),3.矩阵A的最小多项式是A的特征多项式的一个因子
二、最小多项式的基本性质 1.（引理1）矩阵A的最小多项式是唯一的. 2.（引理2）设 g x( ) 是矩阵A的最小多项式，则 f x( ) 以A为根 g x f x ( ) ( ). 3. 矩阵A的最小多项式是A的特征多项式的一个 因子
西安毛子科技大学YIDIANINIVERSIT例1、数量矩阵kE的最小多项式是一次多项式x-k;特别地，单位矩阵的最小多项式是x-1；零矩阵的最小多项式是x反之，若矩阵A的最小多项式是一次多项式，则A一定是数量矩阵110例2、求 A=的最小多项式。10001
例1、数量矩阵kE的最小多项式是一次多项式 x k − ; 特别地，单位矩阵的最小多项式是 x − 1 ； 零矩阵的最小多项式是 x . 反之，若矩阵A的最小多项式是一次多项式，则 A一定是数量矩阵. 例2、求 的最小多项式. 1 1 0 0 1 0 0 0 1 A =