西要毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSITYs 7.7不变子空间、不变子空间的概念线性变换在不变子空间上的限制三、不变子空间与线性变换的矩阵化简四、线性空间的直和分解
一、不变子空间的概念 二、线性变换在不变子空间上的限制 §7.7 不变子空间 三、不变子空间与线性变换的矩阵化简 四、线性空间的直和分解
西要毛子律技大学XIDIAN UNIVERSITY一、不变子空间1、定义设o是数域P上线性空间V的线性变换，W是V的的子空间，若VW,有α()W(即(W)W)则称W是α的不变子空间，简称为α一子空间，注：V的平凡子空间（V及零子空间）对于V的任意一个变换来说，都是一子空间
设 是数域P上线性空间V的线性变换，W是V的 的子空间，若 W , 有 ( ) ( ) W W W (即 ) 则称W是 的不变子空间，简称为 －子空间. V的平凡子空间（V及零子空间）对于V的任意一 个变换 来说，都是 －子空间. 一、不变子空间 1、定义 注：
西安毛子科技大学二XIDIAN UNIVERSITY2、不变子空间的简单性质1）两个一子空间的交与和仍是α一子空间。2）设W= L(αj,αz,α,)，则W是α一子空间台 o(α,),o(α,),..",o(α,) e W.证：→"显然成立.""任取eW,设5=kjαi +kαz +..+k,α,则() = k,o(α) + k,o(α,)+... + k,o(α,).由于 o(αi),o(α2),.",o(α,)eW, :. ()eW.故W为o的不变子空间
1）两个 －子空间的交与和仍是 －子空间. 2）设 W L = ( , , ), 1 2 s 则W是 －子空间 1 2 ( ), ( ), , ( ) . s W 证： " " 显然成立. " " 任取 W , 设 1 1 2 2 , s s = + + + k k k 则 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ). s s = + + + k k k 故W为 的不变子空间. 2、不变子空间的简单性质 由于 1 2 ( ), ( ), , ( ) , s W ( ) . W
西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY3、一些重要不变子空间1）线性变换的值域(V)与核α-(O)都是α的不变子空间，2）若T=T，则 (V)与-(O)都是一子空间注：: af(α)= f(α)o：α的多项式f(）的值域与核都是α的不变子空间这里f(x为P[]中任一多项式
1）线性变换 的值域 ( ) V 与核 ( ) 都是 的 1 0 − 不变子空间. 3、一些重要不变子空间 2）若 = , 则 ( ) V 与 都是 －子空间. 1 (0) − 的多项式 f ( ) 的值域与核都是 的不变子空间. 这里 f x( )为 P x[ ]中任一多项式. f f ( ) ( ) = 注：
西安毛子科技大学-XIDIANUNIVERSITY3）1任何子空间都是数乘变换K的不变子空间，4）线性变换2的特征子空间V是的不变子空间。5）由的特征向量生成的子空间是的不变子空间，证：设α,α2,α是的分别属于特征值,2,",,的特征向量．任取L(α,α2,",α,),设=kjα +k,α2 +..+k,αs，则(5)= k,aαi + k,2α, +... + k,a,α, E L(α1,α2,",α,)L(α,α2,,α,)为的不变子空间
4）线性变换 的特征子空间 是 的不变子空间. 0 V 5）由 的特征向量生成的子空间是 的不变子空间. 证：设 1 2 , , , s 是 的分别属于特征值 1 2 , , , s 的特征向量. 3）任何子空间都是数乘变换 的不变子空间. 任取 1 2 ( , , , ), L s 设 1 1 2 2 , s s = + + + k k k 则 1 1 1 2 2 2 1 2 ( ) ( , , , ) s s s s = + + + k k k L 1 2 ( , , , ) L s 为 的不变子空间