西安毛子科技大学XIDIAN UNIVERSITYS6.7子空间的直和直和的定义直和的判定三、多个子空间的直和
§6.7 子空间的直和 一、直和的定义 二、直和的判定 三、多个子空间的直和
西要毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSITY设V,V,为线性空间V的两个子空间，由维数公式dimV + dimV, = dim(V + V2) + dim(V NV2)有两种情形：1) dim(V +V)<dimV + dimV此时 dim(VnV2)>0,即，Vn,必含非零向量
有两种情形： 设 V V1 2 , 为线性空间V的两个子空间，由维数公式 dim dim dim( ) dim( ) V V V V V V 1 2 1 2 1 2 + = + + 1 2 1 2 1) dim( ) dim dim V V V V + + 此时 dim( ) 0, V V 1 2 即， 必含非零向量. V V 1 2
西要毛子律技大学XIDIANUNIVERSITY2) dim(V + V2) = dimV + dimV此时 dim(VnV)=0,VnV,不含非零向量，即VnV,={O)情形2）是子空间的和的一种特殊情况直和
情形2）是子空间的和的一种特殊情况 直和 1 2 1 2 2) dim( ) dim dim V V V V + = + 此时 dim( ) 0, V V 1 2 = V V 1 2 不含非零向量，即 V V 1 2 = 0
西要毛子科技大学-XIDIANUNIVERSITY一、直和的定义设V,V为线性空间V的两个子空间，若和Vi+V中每个向量α的分解式α=α +α2, α V,α, eV是唯一的，和V+V,就称为直和，记作V④V2.注：①分解式 α=α +α 唯一的，意即若有 α=α +αz = β + β2, α,β V,α2,β, V2则 αi =βi,α, = β2
一、直和的定义 设 V V1 2 , 为线性空间V的两个子空间，若和 V V 1 2 + 1 2 1 1 2 = + , , V V 是唯一的，和 就称为直和，记作 1 2 V V . V V 1 2 + 注: 若有 , , , 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 = + = + , V V 则 1 1 2 2 = = , . ① 分解式 = +1 2 唯一的，意即 中每个向量 的分解式
西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY②分解式唯一的不是在任意两个子空间的和中都成立．例如，R3的子空间V= L(61,62), V, = L(82,63), V, = L(63)这里，81 =(1,0,0), 62 =(0,1,0), 83 =(0,0,1)在和+V中，向量的分解式不唯一，如(2,2,2) = (2,3,0) + (0,-1,2) =(2,1,0) +(0,1,2)所以和VI+V,不是直和
② 分解式唯一的不是在任意两个子空间的和中 都成立. 例如，R3的子空间 1 1 2 2 2 3 3 3 V L V L V L = = = ( , ), ( , ), ( ) 1 2 3 这里， === (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) 在和 V V 1 2 + 中，向量的分解式不唯一，如 (2,2,2) (2,3,0) (0, 1,2) (2,1,0) (0,1,2) = + − = + 所以和 V V 1 2 + 不是直和