西安电子科技大学：《高等代数》课程PPT教学课件（讲稿）第八章 λ-矩阵 8.5 初等因子

西安毛子科技大学XIDIAN UNIVERSITY$ 8.5初等因子一、初等因子的定义二、初等因子与不变因子的关系三、初等因子的求法

一、初等因子的定义 二、初等因子与不变因子的关系 §8.5 初等因子 三、初等因子的求法

西安毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSITY一、初等因子的定义把矩阵 Aε Cmxn 的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式的方幂（相同的必须按出现的次数计算）称为A的初等因子

一次因式的方幂（相同的必须按出现的次数计算） 把矩阵 A C  n n 的每个次数大于零的不变因子 称为A的初等因子. 分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，所有这些 一、初等因子的定义

西要毛子律技大学XIDIANUNIVERSITY例1、若12级复矩阵A的不变因子是：1,1,.,1, (a -1)",(a -1)"(a +1), (a -1)"(a +1)(a2 +1)9个则A的初等因子有7个，它们是(a-1), (a-1), (a-1), (a+1), (a+1),(a+i)", (a-i)2

2 2 2 2 2 1,1, ,1, ( 1) ( 1) ( 1), ( 1) ( 1)( 1)       − − + − + + ， 9个 则A的初等因子有7个，它们是 222 ( 1) , ( 1) , ( 1) , ( 1), ( 1),      − − − + + 例1、若12级复矩阵A的不变因子是: 2 2 ( ) , ( )   + − i i

西安毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSITY二、初等因子与不变因子的关系分析：①设n级矩阵A的不变因子为已知d,(x), d,(x), ..", d,(x)将d,(x)(i=1,2,,n)分解成互不相同的一次因式的方幂的乘积：d,(x) = (a - 2)k(a - 2)ki2 ...(a - 2,)kr,d2(x) =(a-2)21(a-22)kn ..(-2,)k2r,d,(x) =(a -2)*m(a-22)kn2 ...(a -2,)kar

① 设n级矩阵A的不变因子为已知： 1 2 ( ), ( ), , ( ) n d x d x d x 将 d x i n i ( ) ( 1,2, , ) = 分解成互不相同的一次因式 二、初等因子与不变因子的关系 的方幂的乘积: 11 12 1 1 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) , r k k k r d x = − − −       21 22 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) , r k k k r d x = − − −       1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) . n n nr k k k n r d x = − − −       分析:

西要毛子律技大枣XIDIANUNIVERSITY则其中对应于ki≥1的那些方幂：(α-,) (kij≥1)就是A的全部初等因子2注意到不变因子 d,(x),d,(x),,d,(x)满足d,(x)[di+i(x), i=1,2,..,n-1从而有(a-,) (a--,), i=1,2,,n-1, j=1,2,.r因此有，kj,≤k2,≤≤kmj，j=1,2,,r

则其中对应于 1 的那些方幂 : i j k  ( ) ( 1) i j k j i j   −  k 就是A的全部初等因子. ② 注意到不变因子 d x d x d x 1 2 ( ), ( ), , ( ) n 满足 1 ( ) | ( ), 1,2, , 1 i i d x d x i n + = − 从而有 1 , ( ) | ( ) , 1,2, , 1, 1,2, i j i j k k j j     i n j r + − − = − = 因此有, 1 2 , 1,2, , j j nj k k k j r    =