西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY$ 8.3不变因子一、行列式因子二、 不变因子
一、行列式因子 二、不变因子 §8.3 不变因子
西安毛子科技大学三XIDIANUNIVERSITY一、行列式因子1. 定义：设一矩阵A()的秩为 r，对于正整数k，1≤k≤r,A(a)中必有非零的k级子式，A(a)中全部k级子式的首项系数为1的最大公因式 Dk(a)，称为A()的k阶行列式因子，注:若 秩(A(a)=r，则 A(a)有 r个行列式因子
1. 定义： 一、行列式因子 注： k 阶行列式因子. 的首项系数为1的最大公因式 Dk ( ), 称为 A( ) 的 A( ) 中必有非零的 k 级子式， A( ) 中全部 k 级子式 设 －矩阵 A( ) 的秩为 r ，对于正整数 k ， 1 , k r 若 秩( A r ( ) ) = ，则 A( ) 有 r个行列式因子
西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY2.有关结论1）（定理3）等价矩阵具有相同的秩与相同的各级行列式因子，（即初等变换不改变一矩阵的秩与行列式因子）证：只需证，一矩阵经过一次初等变换，秩与行列式因子是不变的。设 A(a)经过一次初等变换变成B(a)，f(a)与g(a) 分别是 A(a)与 B(a)的k级行列式因子.下证f=g，分三种情形：
行列式因子. 1) （定理3）等价矩阵具有相同的秩与相同的各级 （即初等变换不改变 －矩阵的秩与行列式因子） 证：只需证， －矩阵经过一次初等变换，秩与行 列式因子是不变的． 2. 有关结论 设 A( ) 经过一次初等变换变成 B( ) ， f ( ) 与 g( ) 分别是 A( ) 与 B( ) 的 k级行列式因子． 下证 f g = ，分三种情形：
西要毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY① A(a)[i]>B(a)。此时 B(2) 的每个k 级子式或者等于A()的某个k级子式，或者与 A() 的某个k 级子式反号．因此，f(a)是B(a）的k级子式的公因式，从而f(a)g(a)② A(a)[i(o)]>B(2)。此时 B(a) 的每个k 级子式或者等于 A(α) 的某个k级子式，或者等于A() 的某个k级子式的c倍． 因此，f(a)是B(2)的k级子式的公因式，从而f(a)g(a)
k 级子式反号. 公因式， 此时 B( ) 的每个 k 级子式或 者等于 A( ) 的某个 k 级子式，或者与 A( ) 的某个 因此， f ( ) 是 B( ) 的 k 级子式的 , ( ) ( ). i j ① A B ⎯⎯⎯→ 从而 f g ( ) ( ). ( ) ( ) ( ). i c A B ② ⎯⎯⎯→ k 级子式的c倍. 者等于 A( ) 的某个 k 级子式，或者等于 A( ) 的某个 此时 B( ) 的每个 k 级子式或 因此， f ( ) 是 B( ) 的 k 级子式的 公因式， 从而 f g ( ) ( ).
西安毛子科技大学KIDIANUNIVERSI[i+i(o)]>B(a)。此时B(a)中包含i,j两行③ A(a)的和不包含j行的那些k级子式与 A(a)中对应的k级子式相等；B(a)中包含i行但不包含j行的k级子式，按i行分成A(a）的一个k级子式与另一个k级子式的土β()倍的和，即为A(α)的两个k级子式的组合，因此f(2)是B(2)的k级子式的公因式，从而 f(a)g(a).:: f(a)=g(a).同理可得， g(a)f(a)
此时 B( ) 中包含 i j , 两行 级子式相等； ( ) ( ) ( ). i j A B + ③ ⎯⎯⎯⎯→ 的和不包含 j 行的那些 k 级子式与 A( ) 中对应的 k B( ) 中包含 i 行但不包含 j 行的 k 级 子式，按 i 行分成 A( ) 的一个 k 级子式与另一个 k 级子式的 ( ) 倍的和，即为 A( ) 的两个 k 级子式 从而 f g ( ) ( ). 的组合， 因此 f ( ) 是 B( ) 的 k 级子式的公因式， 同理可得， g f ( ) ( ). = f g ( ) ( ).