西安毛子科技大学XIDIAN UNIVERSITYS6.8线性空间的同构、同构映射的定义一二、同构的有关结论
一、同构映射的定义 二、同构的有关结论 §6.8 线性空间的同构
西安毛子科技大学-XIDIANUNIVERSITY我们知道，在数域P上的n维线性空间V中取定一组基后v中每一个向量α有唯一确定的坐标(a,az,,a,)，向量的坐标是P上的n元数组，因此属于Pn。这样一来，取定了V的一组基6j,62，,8n，对于V中每一个向量α，令α在这组基下的坐标(ai,az,an）与α对应，就得到v到p"的一个单射 ：V→P"，α→(a,az,,an)反过来，对于pn中的任一元素（aj,az,",an),α=&a+&az+..+8nan是V中唯一确定的元素，并且 (α)=(a,2,",an)，即也是满射因此，α是V到Pn的一一对应
我们知道，在数域P上的n维线性空间V中取定一组基后， V中每一个向量 有唯一确定的坐标 向量的 坐标是P上的n元数组，因此属于P n . 这样一来，取定了V的一组基 对于V中每一个 向量 ，令 在这组基下的坐标 与 对应，就 得到V到P n的一个单射 反过来，对于P n 中的任一元素 是V中唯一确定的元素， 并且 即 也是满射. 因此， 是V到 P n 的一一对应. 1 2 ( , , , ), n a a a 1 2 , , , , n 1 2 ( , , , ) n a a a 1 2 : , ( , , , ) n V P a a a → n 1 2 ( , , , ), n a a a 1 1 2 2 n n = + + + a a a 1 2 ( ) ( , , , ), n = a a a
西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY这个对应的重要必性表现在它与运算的关系上任取 α,βeV,设α=aje +a,e, +...+anen, β=bei +b,e, +...+bne,则 (α) =(a,a,*"",an), o(β)=(bi,b2,"",bn)从而 o(α+β)=(a +bi,a, +b,",an +bn)=(a,a, "*,an)+(bi,b2,".,bn) = o(α) +o(β)VkePo(ka) =(kaj,ka,"",kan)= k(a,az",an) = ko(α),这就是说，向量用坐标表示后，它们的运算可以归结为它们的坐标的运算
这个对应的重要必性表现在它与运算的关系上. 任取 , , V 设 1 2 ( ) ( , , , ) n = b b b 1 1 2 2 , n n = + + + a a a 1 1 2 2 n n = + + + b b b 1 2 ( ) ( , , ), n 则 = a a a 1 1 2 2 ( ) ( , , ) n n + = + + + a b a b a b 1 2 ( ) ( , , ) n k ka ka ka k P = 归结为它们的坐标的运算. 这就是说，向量用坐标表示后，它们的运算可以 1 2 1 2 ( , , ) ( , , , ) ( ) ( ) n n = + = + a a a b b b 1 2 ( , , ) ( ), n = = k a a a k 从而
西安毛子科技大学三XIDIANUNIVERSITY一、同构映射的定义设V,V'都是数域P上的线性空间，如果映射Q:V→V'具有以下性质：i）为双射ii)Vα,βeV(α+ β)=α(α)+o(β),ii) α(kα)=ko(α),VkeP,VαeV则称α是V到V'的一个同构映射，，并称线性空间V与V同构，记作 V=V
一、同构映射的定义 设 V V, 都是数域P上的线性空间，如果映射 ：V V → 具有以下性质： 则称 是V V 到 的一个同构映射，并称线性空间 V V 与 同构，记作 V V . ii) ( ) ( ) ( ), , + = + V iii) (k k k P V ) = ( ), , i) 为双射
西安毛子科技大学XIDIAN UNIVERSITY例1、V为数域P上的n维线性空间，i,&2，,8n为V的一组基，则前面V到Pn的一一对应o: V→pn,αH(a,az,",an)VαeV这里(a,a2,".,a)为α在8,82,,8,基下的坐标就是一个V到Pn的同构映射，所以 V=Pn
为V的一组基，则前面V到Pn的一一对应 例1、V为数域P上的n维线性空间， 1 2 , , , n : , n V P → 1 2 ( , , , ) n a a a V 这里 ( , , , ) a a a 1 2 n 为 在 1 2 , , , n 基下的坐标， 就是一个V到Pn的同构映射，所以 . n V P