西安电子科技大学：《高等代数》课程PPT教学课件（讲稿）第七章 线性变换 7.6 线性变换的值域与核

西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITYs7.6线性变换的值域与核一、值域与核的概念二、值域与核的有关性质

一、值域与核的概念 二、值域与核的有关性质 §7.6 线性变换的值域与核

西安毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSITY一、值域与核的概念定义1：设是线性空间V的一个线性变换，集合o(V) = (o(α) [αeV)称为线性变换?的值域，也记作Imo，或V集合-(0)={α|αV,(α)=0)称为线性变换的核，也记作kerα注：α(V)，α-(0)皆为V的子空间

一、值域与核的概念 定义1：设  是线性空间V的一个线性变换， 集合     ( ) ( ) | V V =    称为线性变换  的值域，也记作 Im , .   或 V 集合   1      (0) | , ( ) 0 V − =  = 称为线性变换  的核，也记作 ker .  注： 皆为V的子空间. 1   ( ), (0) V −

西要毛子律技大枣XIDIANUNIVERSITY事实上，α(V)二V,o(V)→の，且对Vo(α),o(β)o(V), Vke P有 (α)+(β)=α(α+β)(V)ko(α) =(kα) α(V)即(V)对于V的加法与数量乘法封闭:.α(V)为V的子空间.再看-(0)。首先，α-(0)二V,α(0)=0

事实上，   ( ) , ( ) , V V V    且对          ( ), ( ) ( ), V k P 有         ( ) ( ) ( ) ( ) + = +  V k k V      ( ) ( ) ( ) =  即  ( ) V 对于V的加法与数量乘法封闭.  ( ) V 为V的子空间. 再看 1  (0). − 1   (0) , (0) 0, V − 首先，  =

西安毛子科技大学一XIDIANUNIVERSITY:. 0 α-1(0), α-1(0)+0.又对 α,β-(0), 有(α)=0,(β)=0 从而α(α+β) =(α)+(β) = 0VkeP(kα) = ko(α) = k0 = 0,即 α+β-(0),kα-(0):.α-(0)对于V的加法与数量乘法封闭.故α(0)为V的子空间

又对 有 从而 1    , (0), −       ( ) 0, ( ) 0 = =        ( ) ( ) ( ) 0. + = + =     ( ) ( ) 0 0, k k k k P = = =   即 1 1      (0), (0), k − − +   故 为V的子空间. 1  (0) − 1 1 0 (0), (0) .   − −     1  (0) −  对于V的加法与数量乘法封闭

西要毛子律技大枣XIDIANUNIVERSITY定义2：线性变换α的值域α(V)的维数称为的秩；α的核α-(0)的维数称为的零度例1、在线性空间P[x],中，令D(f(x)= f(x)D(P[x],) = P[x]n-1'则D-I(0) = P所以D的秩为n一1，D的零度为1

定义2：线性变换  的值域  ( ) V 的维数称为  的秩； 的核 的维数称为 的零度. 1  (0) −   例1、在线性空间 P x[ ]n 中，令 D f x f x ( ( ) ( ) ) = 则 ( ) 1 [ ] [ ] , D P x P x n n = − 1 D P (0) − = 所以D的秩为n－1，D的零度为1