西要毛子律技大枣XIDIAN UNIVERSITYS6.3维数·基与坐标一、线性空间中向量之间的线性关系二、线性空间的维数、基与坐标
一、线性空间中向量之间的线性关系 二、线性空间的维数、基与坐标 §6.3 维数 · 基与坐标
西安毛子科技大枣二XIDIAN UNIVERSITY引入问题I（基的问题）如何把线性空间的全体元素表示出来？这些元素之间的关系又如何呢？即线性空间的构造如何？问题I（坐标问题）线性空间是抽象的，如何使其元素与具体的东西数发生联系，使其能用比较具体的数学式子来表达？怎样才能便于运算？
引 入 即线性空间的构造如何？ 怎样才能便于运算？ 问题Ⅰ 如何把线性空间的全体元素表示出来？ 这些元素之间的关系又如何呢？ （基的问题） 问题Ⅱ 线性空间是抽象的，如何使其元素与具体的东西 ——数发生联系,使其能用比较具体的数学式子来表达？ （坐标问题）
西要毛子律技大枣XIDIAN UNIVERSIT一、线性空间中向量之间的线性关系1、有关定义设V是数域P上的一个线性空间(1) αi,α2,"",α, EV(r ≥1), k],k2,"-,k, E P, 和式kai+kα2+...+k,α,称为向量组α,α2,,α,的一个线性组合(2) αi,α2,"",αr,βV, 若存在 k,k2,,k,E P使 β=kαi +k,α +...+k,αr则称向量β可经向量组αi,α2,α,线性表出；
一、线性空间中向量之间的线性关系 1、有关定义 设V 是数域 P 上的一个线性空间 （1） 1 2 1 2 , , , ( 1), , , , , r r V r k k k P 和式 1 1 2 2 r r k k k + + + 称为向量组 1 2 , , , r 的一个线性组合． （2） 1 2 , , , ,r V ，若存在 1 2 , , , r k k k P 则称向量 可经向量组 1 2 , , , r 线性表出； 1 1 2 2 r r 使 = + + + k k k
西安毛子科技大学二XIDIANUNIVERSITY若向量组 βi,β2,,β，中每一向量皆可经向量组α,α2,"",αr线性表出，则称向量组βi,β2,,β可经向量组α,α2，,α线性表出；若两向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组为等价的（3）αj,α2",α,EV，若存在不全为零的数k,k2,",k,EP，使得kα +k,α2 +... + k,α, = 0则称向量组α,α2,α为线性相关的；
若向量组 1 2 , , , s 中每一向量皆可经向量组 1 2 , , , r 线性表出，则称向量组 1 2 , , , s 可经向量组 1 2 , , , r 线性表出； 若两向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组 为等价的． （3） 1 2 , , , r V ，若存在不全为零的数 1 2 , , , r k k k P ，使得 1 1 2 2 0 r r k k k + + + = 则称向量组 1 2 , , , r 为线性相关的；
西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY（4）如果向量组α,α2,α,不是线性相关的，即kai +kα2 +...+k.αr= 0只有在k=k，=.=k,=0时才成立，则称α,α2,α为线性无关的。2、有关结论（1）单个向量α线性相关α=0.单个向量α线性无关α≠0向量组α,α2,α,线性相关←αi,α2，,α,中有一个向量可经其余向量线性表出
（4）如果向量组 1 2 , , , r 不是线性相关的，即 1 1 2 2 0 r r k k k + + + = 只有在 k k k 1 2 = = = = r 0 时才成立， 则称 1 2 , , , r 为线性无关的． （1）单个向量 线性相关 = 0. 单个向量 线性无关 0 向量组 1 2 , , , r 线性相关 1 2 , , , r 中有一个向量可经其余向量线性表出． 2、有关结论