第四节 第九章 多无复合画数的求导法则 元复合函数y=f(u),u=p(x) 求导法则 dydy du dx du dx 微分法则 dy=f(u)du=f(u)o'(x)dx 本节内容： 一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
第四节 一元复合函数 求导法则 本节内容: 一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分 微分法则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元复合函数的求导法则 第九章
一、多无复合函数求导的链式法则 一元函数与多元函数复合（中间变量是一元函数） 定理1.若函数u=p(t),v=t)在点1可导，z=f(u,y) 在点(，v)处偏导连续，则复合函数z=f(o(t),y() 在点t可导，且有链式法则 dz Oz du,0z dv dt Ou dt Oy dt 口诀：分段用乘，分叉用加，单路全导，叉路偏导 证明 HIGH EDUCATION PRESS 下页返回结束
一、多元复合函数求导的链式法则 定理1. 若函数 z = f (u,v) 处偏导连续, 在点 t 可导, t v v z t u u z t z d d d d d d + = z 则复合函数 且有链式法则 u v t t 机动 目录 上页 下页 返回 结束 口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导 •一元函数与多元函数复合 （中间变量是一元函数） 证明
推广：设下面所涉及的函数都可微 1)中间变量多于两个的情形 例如，z=f(u,y,1w),=p(t),v=V(t),1w=0(t) 复合得复合函数 2=f[o(t),yw(t),o(t)] dz 0z du,0z dv,0z dw dt Ou dt'Ov dt'ow di HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
推广: 1) 中间变量多于两个的情形. 例如, z = f (u,v,w) , 设下面所涉及的函数都可微 . = t z d d z u v w t t t t u u z d d t v v z d d + t w w z d d + 机动 目录 上页 下页 返回 结束 u = (t), v = (t), w = (t) 复合得复合函数 z = f[(t),(t),(t)]
2)中间变量是多元函数的情形 (多元函数与多元函数的复合) 定理2.z=f(u,),u=p(x,y),v=Ψ(x,y) 复合函数 z=f[o(x,y),v(x,y)] OzOz Ou,Oz Ov Ox Ou ax Bv Ox 0z0z Ou,0z Ov dy Ou ay Ov ay HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
2) 中间变量是多元函数的情形. （多元函数与多元函数的复合） 定理2. z = f (u,v) , u = (x, y), v = (x, y) = x z = y z z u v x y x y x u u z x v v z + y u u z y v v z + 机动 目录 上页 下页 返回 结束 复合函数 z = f[(x, y),(x, y)]
3)其他情形 定理3.二=f(4,),u=p(xy),v=W(y 复合函数 z=f[0(x,y),y(y)] 0z0z Ou 8x Ou 8x 0z Oz Ou,0z dv Oy Ou ay'Bv dy HIGH EDUCATION PRESS ◆0C08 机动目录上页下页返回结束
3) 其他情形 定理3. z = f (u,v) , u = (x, y), v = (y) = x z = y z z u v x y y x u u z y u u z y v v z d d + 机动 目录 上页 下页 返回 结束 复合函数 z = f[(x, y),(y)]