《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第九章_D9_3全微分

第三为 第九章 全微分 元函数y=f(x)的微分 Ay=A△x+O(△x) dy=f'(x)△x 应用 近似计算 估计误差 本节内容： 全微分的定义 二、全微分在数值计算中的应用 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

第九章 *二、全微分在数值计算中的应用 应用 第三节 一元函数 y = f (x) 的微分 y = Ax + o(x) dy = f (x)x 近似计算 估计误差 机动 目录 上页 下页 返回 结束 本节内容: 一、全微分的定义 全微分

一、全微分的定义 定义：如果函数z=∫(x,y在定义域D的内点(x,y) 处全增量△z=f(x+△x,y+△y)-∫(x,y)可表示成 △=A△x+B△y+o(P),p=(△x)2+(△) 其中A,B不依赖于△x,△y,仅与x,y有关，则称函数 f(x,y)在点(x,y)可微，A△x+B△y称为函数f(x,y) 在点(x,)的全微分，记作 dz=df=A△x+B△ 若函数在域D内各点都可微，则称此函数在D内可微 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

一、全微分的定义 定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y ) 可表示成  z = Ax + B y + o( ) , 其中 A , B 不依赖于 x ,  y , 仅与 x , y 有关， 称为函数 f (x, y) 在点 (x, y) 的全微分, 记作 dz = d f = Ax + By 若函数在域 D 内各点都可微, 则称函数 f ( x, y ) 在点( x, y) 可微， 机动 目录 上页 下页 返回 结束 处全增量 则称此函数在D 内可微. Ax + By

△z=f(x+△x,y+△y)-f(x,y) 由微分定义： =A△x+B△y+O(P), lim△2=lim[(A△x+B△y)+o(p]=0 △x→0 0→0 △y→0 得limf(x+△x,y+Ay)=1im(f(x,y)+△z)=f(x,y) △x→0 △x→0 Ay->0 △y-→0 即 函数z=f(x,y)在点（化，y)可微 函数在该点连续 下面两个定理给出了可微与偏导数的关系： ()函数可微二 偏导数存在 (2)偏导数连续二 函数可微 HIGH EDUCATION PRESS 机动目 下页返回结束

(2) 偏导数连续lim( ) ( ) 0   = Ax + By + o → 下面两个定理给出了可微与偏导数的关系: (1) 函数可微 函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微 lim ( , ) 0 0 f x x y y y x +  +   →  → 由微分定义 : 得 z y x   →  → 0 0 lim = 0 = f (x, y) 函数在该点连续 机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数存在 函数可微 即  z = Ax + B y + o( ) , lim( ( , ) ) 0 0 f x y z y x = +   →  →

定理1（必要条件）若函数z=f(化，y)在点x,y)可微， 则该函数在该点偏导数 二2必存在，且有 Ox'Oy dz= 0-Ax+ 8 y 证：由全增量公式△z=A△x+BAy+o(P),令△y=0, 得到对x的偏增量 △x2=f(x+△x,y)-f(x,y)=A△x+o(△x Oz lim △x2=A △x→0△X 0z 同样可证 0y =B,因此有dz 0x*0y 02 Ly Ox HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

定理1(必要条件) 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 , 则该函数在该点偏导数 y y z x x z z     +   d = x z    同样可证 B, y z =   证: 由全增量公式 令y = 0, = Ax + o( x ) 必存在,且有 得到对 x 的偏增量 x + x x 因此有 x zx x   =  →0 lim = A 机动 目录 上页 下页 返回 结束

注意：定理1的逆定理不成立.即 偏导数存在函数不一定可微！ x2+y2≠0 反例：函数f(x,)= 0 x2+y2=0 易知f,(0,0)=f,(0,0)=0,但函数在点(0,0)不可微 △x△y △z-【f(0,0)△x+f(0,0)△ .V(△x)2+(△y)2 p p △x△y 0 (△x)2+(△y)2 △z-[fx(0,0)△x+f,(0,0)△y≠o(p） 因此，函数在点(0,0)不可微 HIGH EDUCATION PRESS 机动目 下页返回结束

反例: 函数 f (x, y) = 易知 (0, 0) = (0, 0) = 0 , x y f f 但 z [ f ( 0, 0) x f ( 0, 0) y]  − x  + y  因此,函数在点 (0,0) 不可微 .  o( ) 注意: 定理1 的逆定理不成立 . 2 2 ( x) ( y) x y  +    = 0 偏导数存在函数不一定可微 ! 即: , 0 2 2 2 2 +  + x y x y xy 0, 0 2 2 x + y = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数在点 (0,0) 不可微 = z [ f ( 0, 0) x f ( 0, 0) y]  − x  + y 