第九章 第二节 偏导赵 偏导数概念及其计算 二、高阶偏导数 HIGH EDUCATION PRESS eC8 机动目录上页下页返回结束
第二节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、 偏导数概念及其计算 二 、高阶偏导数 偏 导 数 第九章
偏导数定义及其计算法 定义1.设函数z=f(x,y)在点(x0,o)日 的某邻域内 极限 lim f(xo+△x,yo)-f(x,yo) △x->0 △x 存在，则称此极限为函数z=f(x,y)在点(xo,o)对x 的偏导数，记为 0z of 0x(o,y0) )) fx(x0,y0);f(x0,0) 注意：f(o,yo)=lim f(x0+△x,o)-f(xo,Jyo） △x→0 △x HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
定义1. z = f (x, y) 在点 存在, z f (x, y) 在点(x , y ) 对x = 0 0 的偏导数，记为 ( , ) 0 0 x y 的某邻域内 ; ( , ) 0 0 x x y f x + x 0 0 x 则称此极限为函数 极限 设函数 f (x0 ) = ( ) ( ) 0 0 f x + x − f x 0 x lim x→ x ; ( , ) 0 0 x x y z d 0 d x x x y = = ( , ). 1 0 0 f x y 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x f x x y f x y x + − = → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 ( , ) 0 0 f x y 注意 x : 一、 偏导数定义及其计算法
fx(xo,Yo)=lim f(xo+△x,y0)-f(x0,0) △x→0 △x 同样可定义对y的偏导数 f(o,)=lim f(x0,0+△y)-f(xo,%) △y-→0 △y 偏导函数：若函数z=f(x,y)在域D内每一点(x,y处 对x或y偏导数存在，则该偏导数称为偏导函数 也简称为偏导数， 记为 0z of. Ox'Ox ,f(x,y),f(x,y) 0z 8y' of, 8v y,f(x,y),5(x,y) HIGH EDUCATION PRESS D◆0C08 机动目录上页下页返回结束
同样可定义对 y 的偏导数 lim →0 = y ( , ) 0 0 f x y y 若函数 z= f (x , y) 在域 D 内每一点 (x ,y)处 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为偏导数 , ( , ) , ( , ) 2 f x y f x y y ( , ) 0 f x ( , ) 0 − f x y 记为 y + y 0 0 y 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对 x或 y 偏导数存在, , , , y z y f y z x f x x y f x y x + − = → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 ( , ) 0 0 f x y x 偏导函数:
偏导数的定义 f(XoYo)=lim f(+△x,o)-fxo,o) △x→0 △x 偏导数的符号 02 xx=X0 f(x0,%) (xo yo) y=yo 冬偏导函数 f东(x,y)=lim fx+△x,y)-f(x,y) △x→>0 △x 偏导函数的符号 ax’ax’ x,或f(x), HIGH EDUCATION PRESS
❖偏导数的定义 ❖偏导数的符号 x z x f x z 或 f (x, y) x ❖偏导函数 x f x x y f x y f x y x x + − = → ( , ) ( , ) ( , ) lim 0 ❖偏导函数的符号 ( , ). 1 0 0 f x y 0 0 y y x x x z = = 0 0 y y x x x f = = 0 0 y y zx x x = = ( , ) 0 0 f x y x x f x x y f x y f x y x x + − = → ( , ) ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 0 0
偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 例如，三元函数=f(x,y,)在点(x,y,)处对x的 偏导数定义为 /(x,2）=1im/x+Ax,⅓)-fxy,a Ax->0 △x f(xy,2)=? (请自己写出) f(x,y,2)=? HIGH EDUCATION PRESS ◆0C08 机动目录上页下页返回结束
例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的 偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 . x x + x f (x, y,z) = ? y f (x, y,z) = ? z x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数定义为 (请自己写出)