第五节 第十一章 对望标的曲面积分 一、有向曲面及曲面元素的投影 二、 对坐标的曲面积分的概念与性质 三、 对坐标的曲面积分的计算法 四、两类曲面积分的联系 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
第五节 一、有向曲面及曲面元素的投影 二、 对坐标的曲面积分的概念与性质 三、对坐标的曲面积分的计算法 四、两类曲面积分的联系 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对坐标的曲面积分 第十一章
有向曲面及曲面元素的投影 1有向曲面及其侧 双侧曲面 曲面分内侧和 曲面分类 外侧 单侧曲面 莫比乌斯带 曲面分左侧和 曲面分上侧和 (单侧曲面的典型 右侧 下侧 HIGH EDUCATION PRESS 下页返回结束
一、有向曲面及曲面元素的投影 • 曲面分类 双侧曲面 单侧曲面 莫比乌斯带 曲面分上侧和 下侧 曲面分内侧和 外侧 曲面分左侧和 (单侧曲面的典型) 右侧 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.有向曲面及其侧
(1)若曲面方程为：=z(x,y,则将曲面分为 上、下两侧。 此时曲面上任意一点处的法向量为±(3xy,一1) 其中，元=(-x,一乙，1)朝上，代表曲面的上侧 2=(3xzy,-1) 朝下，代表曲面的下侧 2=(x2+y2) HIGH EDUCATION PRESS
（1）若曲面方程为 z = z (x , y)，则将曲面分为 上、下两侧。 ( , ,−1) x y 此时曲面上任意一点处的法向量为 z z 其中， ( , , 1) 1 x y n = − z − z 朝上，代表曲面的上侧， ( , , 1) n2 = zx z y − 朝下，代表曲面的下侧。 o y x z
(2)若曲面方程为y=y(x,),则将曲面分为左、右 两侧。 此时曲面上任意一点处的法向量为±(yx,一1，y2) 其中，m=(yx,1,-y)朝右，代表曲面的右侧 i2=(yx一1，y2)朝左，代表曲面的左侧。 y=(22+x2) HIGH EDUCATION PRESS
（2）若曲面方程为 y = y (x , z)，则将曲面分为左、右 两侧。 ( , 1, ) x z 此时曲面上任意一点处的法向量为 y − y 其中， ( , 1, ) 1 x z n = − y − y 朝右，代表曲面的右侧， ( , 1, ) 2 x z n = y − y 朝左，代表曲面的左侧。 o y x z
(3)若曲面方程为x=xy,),则将曲面分为前、后 两侧。此时曲面上任意一点处的法向量为±(-1，xy,x,） 其中，m1=(1,一xy,一xz)朝前，代表曲面的前侧， 2=(-1,xy,x)朝后，代表曲面的后侧。 (4)若曲面为封闭曲面，方程为F(x,y,2)=0， 则将曲面分为内、外两侧。 此时曲面上任意一点处的法向量为±(Fx,卫y,F,) 其中，一个朝内，代表曲面的内侧 一个朝外，代表曲面的外侧。 HIGH EDUCATION PRESS
（3）若曲面方程为 x = x (y , z)，则将曲面分为前、后 两侧。 ( 1, , ) y z 此时曲面上任意一点处的法向量为 − x x 其中， (1, , ) 1 y z n = − x − x 朝前，代表曲面的前侧， ( 1, , ) 2 y z n = − x x 朝后，代表曲面的后侧。 （4）若曲面为封闭曲面，方程为 F (x , y , z ) = 0， 则将曲面分为内、外两侧。 ( , , ) 此时曲面上任意一点处的法向量为 Fx Fy Fz 其中， 一个朝内，代表曲面的内侧， 一个朝外，代表曲面的外侧