第八节 第九章 多无品数的极值及其求法 一、多元函数的极值 二、最值应用问题 三、条件极值 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
第九章 第八节 一、多元函数的极值 二、最值应用问题 三、条件极值 机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元函数的极值及其求法
一、多元函数的极值 定义：若函数z=f(x,y)在点(xo,yo)的某邻域内有 f(x,y)≤f(xo,yo)(或f(x,y)≥f(xo,yo) 则称函数在该点取得极大值极小值).极大值和极小值 统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点 例如： z=3x2+4y2在点(0,0)有极小值 z=-√x2+y2在点(0,0)有极大值 z=xy在点(0,0)无极值 HIGH EDUCATION PRESS 下页返回结束
x y z 一、 多元函数的极值 定义: 若函数 则称函数在该点取得极大值(极小值). 例如 : 在点 (0,0) 有极小值; 在点 (0,0) 有极大值; 在点 (0,0) 无极值. 极大值和极小值 统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 的某邻域内有 x y z x y z 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理1（必要条件）函数z=f(x,y)在点(x,yo)存在 偏导数，且在该点取得极值，则有 f(x0,o)=0,f5(xoy0)=0 证：因z=f(x,y)在点(，yo)取得极值，故 z=f(x,yo)在x=x取得极值 z=f(xo,y)在y=yo取得极值 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立 >极值点的几何意义： 若曲面z=f(xy在点(x,yo,处有切平面，则切平面 z-z0=f(x0,yo)x-0)+f(x0,0)y-yo) 即 2-20=0 切平面/xoy面或切平面是水平的 HIGH EDUCATION PRESS
定理1 (必要条件) 函数 偏导数, 证: 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立. ( , ) 0 , ( , ) 0 f x x0 y0 = f y x0 y0 = 取得极值 , 取得极值 取得极值 且在该点取得极值, 则有 存在 故 ➢ 极值点的几何意义： 若曲面 z=f (x,y) 在点 处有切平面，则切平面 即 切平面//xoy 面 或切平面是水平的
定理1（必要条件）函数z=f(x,y)在点(xo,yo)存在 偏导数，且在该点取得极值，则有 f(x0,y0)=0,f(xy0)=0 说明：·使函数的各偏导数都为0的点，称为驻点 ·Th1-具有偏导数的函数的极值点必定是驻点： 。 但驻点不一定是极值点。 例如，z=xy有驻点(0,0)，但在该点不取极值 HIGH EDUCATION PRESS
说明：• 使函数的各偏导数都为0的点，称为驻点. • Th1-具有偏导数的函数的极值点必定是驻点； 例如, 有驻点( 0, 0 )，但在该点不取极值. 定理1 (必要条件) 函数 偏导数, 且在该点取得极值 , 则有 存在 • 但驻点不一定是极值点
定理2（充分条件）若函数：=f(x,y)在点(x,y0)的 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数，且 fx(x0,0)=0,f(x0,0)=0 令A=fxx(0,o),B=fx(0,0),C=fy(x0,o） A<0时取极大值 则1)当4C-B2>0时，具有极值 A>0时取极小值 2)当AC-B2<0时，没有极值 3)当AC-B2=0时，不能确定，需另行讨论 证明见第九节P122) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
时, 具有极值 定理2 (充分条件) 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且 令 则: 1) 当 A<0 时取极大值; A>0 时取极小值. 2) 当 3) 当 证明见 第九节(P122) . 时, 没有极值. 时, 不能确定 , 需另行讨论. 若函数 z = f (x, y) 在点(x0 , y0 )的 ( , ) 0 , ( , ) 0 f x x0 y0 = f y x0 y0 = ( , ) , ( , ) , ( , ) 0 0 0 0 0 0 A f x y B f x y C f x y = x x = x y = y y 0 2 AC − B 0 2 AC − B 0 2 AC − B = 机动 目录 上页 下页 返回 结束