146第十五章微分形式的积分。设wn均为q-形式，则"(w+n)=*w+n.设w为q-形式，f为函数，则p*(fw）=（f)pw.设f为可微函数，则*(df)=d(fo).事实上，在处，成立*(df)() =df(p() o * =df(() o dp() =d(f o )(),其中我们用到了全微分的形式不变性（链式法则).特别地，*(dr）=dpi，其中i=io是的第i个分量·设w为q-形式，由（15.3）式所表示，则w=E wi,opdpi A..Adpig.ii<...<iq设w,n分别为p-形式和q-形式,则*(wn)=p*wpn设,：R"→"均为可微映射，w为q-形式，则（o)*w=p*(*w)利用拉回映射，前例中的结果可以简单地写为p*(dz）=(detJ)dr：特别地，如果分别为线性映射，其矩阵表示分别为A,B，则*(da) = (det A) dz, *(da) = (det B) dz.复合映射的矩阵表示为BA，因此有det(BA) dr = ( o )*(dr) = *(*(dr)) = (det B)p*(dr) = (det B)(det A)dr这就得到了线性代数中熟知的等式det(BA)=(detB)(detA),例15.1.2.辛形式和辛变换.考虑R2n中的2-形式w=】driΛdn+i，它称为R2n上的标准辛形式.辛形式是一个反对称的二次型，它也可以表示为(oI)uT, Vu,ueR".w(u,) =u ((-In0)如果线性变换?：R2n→R2n保持w不变，即β*w=w，则称为一个辛变换.如果的矩阵表示为A，则A满足等式0InAT=-In0
146 第十五章 微分形式的积分 • 设 ω, η 均为 q−形式, 则 ϕ ∗ (ω + η) = ϕ ∗ω + ϕ ∗η. • 设 ω 为 q−形式, f 为函数, 则 ϕ ∗ (fω) = (f ◦ ϕ)ϕ ∗ω. • 设 f 为可微函数, 则 ϕ ∗ (df) = d(f ◦ ϕ). 事实上, 在 x 处, 成立 ϕ ∗ (df)(x) = df(ϕ(x)) ◦ ϕ∗x = df(ϕ(x)) ◦ dϕ(x) = d(f ◦ ϕ)(x), 其中我们用到了全微分的形式不变性 (链式法则). 特别地, ϕ ∗ (dxi) = dϕi , 其 中 ϕi = xi ◦ ϕ 是 ϕ 的第 i 个分量. • 设 ω 为 q−形式, 由 (15.3) 式所表示, 则 ϕ ∗ω = ∑ i1<···<iq ωi1···iq ◦ ϕ dϕi1 ∧ · · · ∧ dϕiq . • 设 ω, η 分别为 p−形式和 q−形式, 则 ϕ ∗ (ω ∧ η) = ϕ ∗ω ∧ ϕ ∗η. • 设 ϕ, ψ : R n → R n 均为可微映射, ω 为 q−形式, 则 (ψ ◦ ϕ) ∗ω = ϕ ∗ (ψ ∗ω). 利用拉回映射, 前例中的结果可以简单地写为 ϕ ∗ (dx) = (det Jϕ) dx. 特别地, 如果 ϕ, ψ 分别为线性映射, 其矩阵表示分别为 A, B, 则 ϕ ∗ (dx) = (det A) dx, ψ∗ (dx) = (det B) dx. 复合映射 ψ ◦ ϕ 的矩阵表示为 BA, 因此有 det(BA) dx = (ψ ◦ ϕ) ∗ (dx) = ϕ ∗ ( ψ ∗ (dx) ) = (det B)ϕ ∗ (dx) = (det B)(det A) dx, 这就得到了线性代数中熟知的等式 det(BA) = (det B)(det A). 例 15.1.2. 辛形式和辛变换. 考虑 R 2n 中的 2−形式 ω = ∑n i=1 dxi ∧ dxn+i , 它称为 R 2n 上的标准辛形式. 辛形 式是一个反对称的二次型, 它也可以表示为 ω(u, v) = u ( 0 In −In 0 ) v >, ∀ u, v ∈ R n . 如果线性变换 ϕ : R 2n → R 2n 保持 ω 不变, 即 ϕ ∗ω = ω, 则称 ϕ 为一个辛变换. 如 果 ϕ 的矩阵表示为 A, 则 A 满足等式 A ( 0 In −In 0 ) A > = ( 0 In −In 0 )
147915.1欧氏空间中的微分形式在上式两边取行列式，可得（detA)?=1.下面我们说明实际上只能有detA=1.事实上，记da=dri^...^da2n为R2n的体积形式，则w"=wA...Aw=(-1)"np"n!dr(15.4)另一方面，由w=w知p*(wn) =(p*w)" =wn,这表明*dr=dr.再由dr=(detA)dr即得detA=1拉回映射可以进一步推广：设L：Rn→Rm为线性映射，它诱导了对偶空间之间的线性映射L*：(R"）*→(R")*：当ΦE(Rm)*时令L*Φ=Φ。L.同理，还可以将L*扩充到多线性型上.如果DCR"为开集，：D→Rm为可微映射，则完全类似与前面的讨论，可以定义拉回映射*，它将Rm中的q-形式拉回为D中的q-形式.拉回映射同样具有前面所罗列的性质，我们不再赞述，只考虑如下例子.例15.1.3.Binet-Cauchy公式设n<m，如上.再设D'(D)为Rm中的开集，：D'→R"为可微映射.记dr=d1Λ..Λdrn为Rn的体积形式，则o(1...n)§(dr)=(15.5)dajA...Adajn.1im 0(,)其中表示的第个分量.进一步，有O(bi,..,n)o)(pi.pn) dr,Φ*(*(dar) =()(r1,,n)(ti,..,Tn)1Sji<..<jnSm其中表示的第j个分量.又因为p*(*(dr) = ( o )*(dr) = det J( op) dr,最后我们就得到如下等式o(bi,...,n)O(pi,...,i.)det J(oy)=(15.6)1im0(,.,j,)((r1,..,n)特别地，当,均为线性映射时，设其矩阵表示分别为A,B，则上式成为1r()ZB(det(BA) =(15.7)A(..:21≤ji<..<jn≤m这是线性代数中的Binet-Cauchy公式习题15.1
§15.1 欧氏空间中的微分形式 147 在上式两边取行列式, 可得 (det A) 2 = 1. 下面我们说明实际上只能有 det A = 1. 事实上, 记 dx = dx1 ∧ · · · ∧ dx2n 为 R 2n 的体积形式, 则 ω n = ω ∧ · · · ∧ ω = (−1) n(n−1) 2 n! dx. (15.4) 另一方面, 由 ϕ ∗ω = ω 知 ϕ ∗ (ω n ) = (ϕ ∗ω) n = ω n , 这表明 ϕ ∗dx = dx. 再由 ϕ ∗dx = (det A) dx 即得 det A = 1. 拉回映射可以进一步推广. 设 L : R n → R m 为线性映射, 它诱导了对偶空间 之间的线性映射 L ∗ : (R m) ∗ → (R n) ∗ : 当 φ ∈ (R m) ∗ 时令 L ∗φ = φ ◦ L. 同理, 还可 以将 L ∗ 扩充到多线性型上. 如果 D ⊂ R n 为开集, ϕ : D → R m 为可微映射, 则完 全类似与前面的讨论, 可以定义拉回映射 ϕ ∗ , 它将 R m 中的 q−形式拉回为 D 中的 q−形式. 拉回映射同样具有前面所罗列的性质, 我们不再赘述, 只考虑如下例子. 例 15.1.3. Binet-Cauchy 公式. 设 n < m, ϕ 如上. 再设 D0 ⊃ ϕ(D) 为 R m 中的开集, ψ : D0 → R n 为可微映 射. 记 dx = dx1 ∧ · · · ∧ dxn 为 R n 的体积形式, 则 ψ ∗ (dx) = ∑ 1≤j1<···<jn≤m ∂(ψ1, · · · , ψn) ∂(xj1 , · · · , xjn ) dxj1 ∧ · · · ∧ dxjn , (15.5) 其中 ψi 表示 ψ 的第 i 个分量. 进一步, 有 ϕ ∗ ( ψ ∗ (dx) ) = ∑ 1≤j1<···<jn≤m ∂(ψ1, · · · , ψn) ∂(xj1 , · · · , xjn ) (ϕ) ∂(ϕj1 , · · · , ϕjn ) ∂(x1, · · · , xn) dx, 其中 ϕj 表示 ϕ 的第 j 个分量. 又因为 ϕ ∗ ( ψ ∗ (dx) ) = (ψ ◦ ϕ) ∗ (dx) = det J(ψ ◦ ϕ) dx, 最后我们就得到如下等式 det J(ψ ◦ ϕ) = ∑ 1≤j1<···<jn≤m ∂(ψ1, · · · , ψn) ∂(xj1 , · · · , xjn ) (ϕ) ∂(ϕj1 , · · · , ϕjn ) ∂(x1, · · · , xn) . (15.6) 特别地, 当 ϕ, ψ 均为线性映射时, 设其矩阵表示分别为 A, B, 则上式成为 det(BA) = ∑ 1≤j1<···<jn≤m B ( 1 · · · n j1 · · · jn ) A ( j1 · · · jn 1 · · · n ) , (15.7) 这是线性代数中的 Binet-Cauchy 公式. 习题 15.1
148第十五章微分形式的积分1.在R2\(0,0)中定义向量场X(,9)=（，+).X是否为保守场？ae.证明2.设.,(R"),在对偶基(e)下=）Eai...aiA...Ae≤ji...j≤n3.化简下列表达式(1) (rdr +ydy) ^(zdz - zdr).(2)(dr+dy+dz)^(dAdy-ydy^dz)4.设（，y）为R?中的直角坐标，(r,0)为极坐标，证明da^dy=rdr^da.5.设(t,y,2)为R3中的直角坐标,(r,9,)为极坐标,其中r=rsingcos,y=rsinesin,z=rcoso,通过直接计算证明dadydz=rsindrdodp6.验证（15.4）式成立.7.验证(15.5)式成立8.在Binet-Cauchy公式中取B=AT，你能得到什么结论？815.2微分形式之间的运算为了方便起见，我们将函数称为0-形式。我们知道，给定可微函数于，它的全微分df为1-形式从f得到df是一个求导的过程现在，给定Rn中q-形式w，我们要定义一个(q+1)-形式，它由w求导得到，记为dw.设w为Ck(k≥1)的g-形式，它可以表示为Z=Wi.igdaiA...Adrig1Sii<..<igSn我们定义dw=dwi..AdriA..drig1Sii<.<igSn显然，dw为（q+1)-形式，称为w的外微分.注意，当q=n时，可规定dw=0例15.2.1.R2中1-形式的外微分
148 第十五章 微分形式的积分 1. 在 R 2 \ {(0, 0)} 中定义向量场 X(x, y) = ( −y x2+y2 , x x2+y2 ) . X 是否为保守场? 2. 设 φ 1 , · · · , φq ∈ (R n) ∗ , 在对偶基 {e j} 下 φ i = ∑n j=1 a i j e j . 证明 φ 1 ∧ · · · ∧ φ q = ∑ 1≤j1≤···≤jq≤n a 1 j1 · · · a q jq e j1 ∧ · · · ∧ e jq . 3. 化简下列表达式 (1) (x dx + y dy) ∧ (z dz − z dx). (2) (dx + dy + dz) ∧ (x dx ∧ dy − y dy ∧ dz). 4. 设 (x, y) 为 R 2 中的直角坐标, (r, θ) 为极坐标, 证明 dx ∧ dy = r dr ∧ dθ. 5. 设 (x, y, z) 为 R 3 中的直角坐标, (r, θ, ϕ) 为极坐标, 其中 x = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ, 通过直接计算证明 dx ∧ dy ∧ dz = r 2 sin θ dr ∧ dθ ∧ dϕ. 6. 验证 (15.4) 式成立. 7. 验证 (15.5) 式成立. 8. 在 Binet-Cauchy 公式中取 B = A>, 你能得到什么结论? §15.2 微分形式之间的运算 为了方便起见, 我们将函数称为 0−形式. 我们知道, 给定可微函数 f, 它的全 微分 df 为 1−形式. 从 f 得到 df 是一个求导的过程. 现在, 给定 R n 中 q−形式 ω, 我们要定义一个 (q + 1)−形式, 它由 ω 求导得到, 记为 dω. 设 ω 为 C k (k ≥ 1) 的 q−形式, 它可以表示为 ω = ∑ 1≤i1<···<iq≤n ωi1···iq dxi1 ∧ · · · ∧ dxiq , 我们定义 dω = ∑ 1≤i1<···<iq≤n dωi1···iq ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxiq . 显然, dω 为 (q + 1)−形式, 称为 ω 的外微分. 注意, 当 q = n 时, 可规定 dω = 0. 例 15.2.1. R 2 中 1−形式的外微分
149915.2微分形式之间的运算设w=P(r,y)dr+Q(z,y)dy为R2中的1-形式,则dw=dP^dr+dQAdy=(Pad+Pydy)^d+(Qrdr+Qydy)^dy= (Qr-Pu)da Λdy例15.2.2.R3中1-形式的外微分设w=P(z,y,2)d+Q(a,y,z)dy+R(z,y,z)dz为1-形式,则dw=dPAd+dQAdy+dRAdz= (P dr +Pydy+ P, dz) Λdr+(Qda+Qydy+Qdz) ^dy+ (Ra da + Ry dy+ Re dz) ^ dz= (Ry-Qz)dyAdz+(P,-R)dzΛdr+ (Q-Py)daAdy例15.2.3.R3中2-形式的外微分设R3中2-形式为w=P(r,y,z)dydz+Q(r,y,z)dzdr+R(r,y,z)ddy则dw= dP^dy^dz+ dQ ^dzdr+ dRddy=Pdadydz+QydyAdzdr+Rzdzdrdy=(Pr+Q+R)drdyAdzd称为外微分算子，它具有以下性质.设w,n为q-形式,入,μR则d(w+μm)=dw+μdn.设f为函数，w为q-形式，则d(fw)=df^w+fdw·设w,n分别为p-形式和q-形式，则d(wn)= dwAn+(-1)Pwdn·d2=0,即d(dw)=0.先考虑0-形式.设f为Ck（k≥2)函数，则of da)df =d(df) = dOri"8fofda,AdrsAdri=>d(ori1J=,zjor=18f dri daj = 0.『of>=Lorororjri<i
§15.2 微分形式之间的运算 149 设 ω = P(x, y) dx + Q(x, y) dy 为 R 2 中的 1−形式, 则 dω = dP ∧ dx + dQ ∧ dy = (Px dx + Py dy) ∧ dx + (Qx dx + Qy dy) ∧ dy = (Qx − Py) dx ∧ dy. 例 15.2.2. R 3 中 1−形式的外微分. 设 ω = P(x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz 为 1−形式, 则 dω = dP ∧ dx + dQ ∧ dy + dR ∧ dz = (Px dx + Py dy + Pz dz) ∧ dx + (Qx dx + Qy dy + Qz dz) ∧ dy + (Rx dx + Ry dy + Rz dz) ∧ dz = (Ry − Qz) dy ∧ dz + (Pz − Rx) dz ∧ dx + (Qx − Py) dx ∧ dy. 例 15.2.3. R 3 中 2−形式的外微分. 设 R 3 中 2−形式为 ω = P(x, y, z) dy ∧ dz + Q(x, y, z) dz ∧ dx + R(x, y, z) dx ∧ dy, 则 dω = dP ∧ dy ∧ dz + dQ ∧ dz ∧ dx + dR ∧ dx ∧ dy = Px dx ∧ dy ∧ dz + Qy dy ∧ dz ∧ dx + Rz dz ∧ dx ∧ dy = (Px + Qy + Rz) dx ∧ dy ∧ dz. d 称为外微分算子, 它具有以下性质: • 设 ω, η 为 q−形式, λ, µ ∈ R, 则 d(λω + µη) = λdω + µdη. • 设 f 为函数, ω 为 q−形式, 则 d(fω) = df ∧ ω + f dω. • 设 ω, η 分别为 p−形式和 q−形式, 则 d(ω ∧ η) = dω ∧ η + (−1)pω ∧ dη. • d 2 = 0, 即 d(dω) = 0. 先考虑 0−形式. 设 f 为 C k (k ≥ 2) 函数, 则 d 2 f = d(df) = d (∑n i=1 ∂f ∂xi dxi ) = ∑n i=1 d ( ∂f ∂xi ) ∧ dxi = ∑n i,j=1 ∂ 2f ∂xj∂xi dxj ∧ dxi = ∑ i<j [ ∂ 2f ∂xi∂xj − ∂ 2f ∂xj∂xi ] dxi ∧ dxj = 0
150第十五章微分形式的积分其中我们用到了求导次序的可交换性，对于q-形式，以w=f(a)dai^.^drig为例，此时dw=df Adri A..Adrig.根据df=0和前一条性质可知d=0. d(o*w)=β*dw.仍设w= f(a)dri ^...^drig,则d(w)=d(f()dpi,...dpig)=d(f()) dpi...dpia根据拉回映射的性质，d(f()）=*(df)，代入上式即得欲证等式如果dw=0,则称w为闭形式；如果w=dn，则称w为恰当形式.由d=0可知恰当形式必为闭形式，反之不然，例15.2.4.R2\(0,0))中的一个非恰当的闭形式考虑 R2\((0,0)) 中的 1-形式TydrW=2+9dy-2+y直接的计算表明dw=0,即w为闭形式.如果用极坐标(r,)表示，则由dr =cos dr r sin do,dy= sindr +r cosdo可得w=do.不过，这个等式并不表明w是恰当形式，因为θ不能定义在整个R2{(0,0))中.事实上，不存在R2(0,0))中的函数f，使得w=f.（反证法）如果这样的f存在，则w沿单位圆周（逆时针方向）积分为零另一方面，直接的计算表明此积分等于2元命题15.2.1(Poincaré引理).设D为R"中的凸域，则D中的闭形式必为恰当形式.证明.不妨设原点属于D.考虑1-形式w=?fi(r)di.如果w=df，则根据aiNewton-Leibniz公式，有f(tr)idt显[(a) t= (0) +f(μ) = f(0) +21Or10fi(tr)r;dt= f(0) +
150 第十五章 微分形式的积分 其中我们用到了求导次序的可交换性. 对于 q−形式, 以 ω = f(x) dxi1 ∧ · · · ∧ dxiq 为例, 此时 dω = df ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxiq . 根据 d 2f = 0 和前一条性质可知 d 2ω = 0. • d(ϕ ∗ω) = ϕ ∗dω. 仍设 ω = f(x) dxi1 ∧ · · · ∧ dxiq , 则 d(ϕ ∗ω) = d ( f(ϕ)dϕi1 ∧ · · · ∧ dϕiq ) = d ( f(ϕ) ) ∧ dϕi1 ∧ · · · ∧ dϕiq . 根据拉回映射的性质, d ( f(ϕ) ) = ϕ ∗ (df), 代入上式即得欲证等式. 如果 dω = 0, 则称 ω 为闭形式; 如果 ω = dη, 则称 ω 为恰当形式. 由 d 2 = 0 可知恰当形式必为闭形式, 反之不然. 例 15.2.4. R 2 \ {(0, 0)} 中的一个非恰当的闭形式. 考虑 R 2 \ {(0, 0)} 中的 1−形式 ω = x x 2 + y 2 dy − y x 2 + y 2 dx, 直接的计算表明 dω = 0, 即 ω 为闭形式. 如果用极坐标 (r, θ) 表示, 则由 dx = cos θ dr − r sin θ dθ, dy = sin θ dr + r cos θ dθ 可得 ω = dθ. 不过, 这个等式并不表明 ω 是恰当形式, 因为 θ 不能定义在整个 R 2 \ {(0, 0)} 中. 事实上, 不存在 R 2 \ {(0, 0)} 中的函数 f, 使得 ω = df. (反证法) 如果这样的 f 存在, 则 ω 沿单位圆周 (逆时针方向) 积分为零. 另一方面, 直接的 计算表明此积分等于 2π. 命题 15.2.1 (Poincar´e 引理). 设 D 为 R n 中的凸域, 则 D 中的闭形式必为恰 当形式. 证明. 不妨设原点属于 D. 考虑 1−形式 ω = ∑n i=1 fi(x) dxi . 如果 ω = df, 则根据 Newton-Leibniz 公式, 有 f(x) = f(0) + ∫ 1 0 d dt [ f(tx) ] dt = f(0) + ∫ 1 0 ∑n i=1 ∂f ∂xi (tx)xi dt = f(0) + ∫ 1 0 ∑n i=1 fi(tx)xi dt