而这只有2<1才可能也必能。 [得证] 二、矩阵级数 1.定义：矩阵序列{A}的无穷和A仙+A2+…+A)+…叫做矩阵 级数，记为2A山。而S=之4称为其部分和，若矩阵序列 k=1 k=1 {S}收敛，且有极限S,则称该矩阵级数收敛，且有和S.记为 00 S=∑A k=1 不收敛的矩阵级数称为是发散的。 6
而这只有 1 λi < 才可能也必能。 [得证] 二、 矩阵级数 1.定义: 矩阵序列{ } ( ) k A 的无穷和 (1) (2) ( ) k AA A + ++ + 叫做矩阵 级数, 记为 ( ) 1 k k ∞ = ∑A 。而 ( ) () 1 N N k k S A = = ∑ 称为其部分和, 若矩阵序列 { } ( ) N S 收敛,且有极限S , 则称该矩阵级数收敛,且有和S . 记为 ( ) 1 k k ∞ = S A = ∑ 不收敛的矩阵级数称为是发散的。 6
若矩阵级数∑A)的所有元素∑α均绝对收敛，则称该级数为绝 k=1 k=1 对收敛。 2.绝对收敛矩阵级数的性质 (1) 绝对收敛矩阵级数一定收敛，且任意调换它的项所得的级数仍收 敛，且其和不变。 (2)】 四绝对收敛，则吃P4Q也绝对收敛且等于P2AQ。 k=1 k=1 (3) ∑A,∑B均绝对收敛，且和分别为SS,则 k=1 7
若矩阵级数 ( ) 1 k k A ∝ = ∑ 的所有元素 ( ) 1 k ij k a ∝ = ∑ 均绝对收敛,则称该级数为绝 对收敛。 2. 绝对收敛矩阵级数的性质 (1) 绝对收敛矩阵级数一定收敛，且任意调换它的项所得的级数仍收 敛,且其和不变。 (2) ( ) 1 k k A ∝ = ∑ 绝对收敛，则 ( ) 1 k k PA Q ∝ = ∑ 也绝对收敛且等于 ( ) 1 k k P AQ ∝ = ∑ 。 (3) ( ) 1 k k A ∝ = ∑ , ( ) 1 k k B ∝ = ∑ 均绝对收敛,且和分别为 1 2 S S, 则 7
2空4)=S的 i-1 三、方阵的幂级数 A为方阵，∑c4,(4°=D称为A的幂级数. ∑A称为A的 k=0 Neumann级数。 l.Neumann级数收敛的充要条件 [定理]Neumann级数收敛的充要条件是A为收敛矩阵，且在收敛时其和 为(I-A)。 证明：[必要性] 8
() ( 1 ) 1 2 1 1 ( ) k i ki k i A B SS ∝ + − = = ∑ ∑ = 三、 方阵的幂级数 A为方阵, 0 0 ,( ) k k k cA A I ∝ = ∑ = 称为 A的幂级数. 0 k k A ∝ = ∑ 称为 A的 Neumann 级数。 1. Neumann 级数收敛的充要条件 [定理] Neumann 级数收敛的充要条件是 A为收敛矩阵,且在收敛时其和 为 1 ( ) I A − − 。 证明: [必要性] 8