正交和投影（OrthogonalityandProjection投影
正交和投影 (Orthogonality and Projection) 投影
正交和投影（OrthogonalityandProjection投影到一条直线
正交和投影 (Orthogonality and Projection) 投影到一条直线
投影到一条直线上海饰烧大荟Shanghai Normal Universit假设一条线的方向是a=（a1...，am）。考虑任一个向量b=（b1,..bm），我们希望在这条直线上找到p，使得p到b的距离最小。b误差eaAp寻找最小的e关键在于发现b和p的最小误差是与a(p)垂直的。我们称p是b在a上的投影。303
投影到一条直线 假设一条线的方向是 a = (a1, · · · , am)。考虑任一个向量 b = (b1, · · · , bm)，我们希望在这 条直线上找到 p，使得 p 到 b 的距离最小。 b 误差 e p a θ 寻找最小的 e 关键在于发现 b 和 p 的最小误差是与 a(p) 垂直的。我们称 p 是 b 在 a 上的投影。 303
投影的计算（I)上海饰烧大筝Shanghai Normal Universit假设：p=xa则e=b-p，注意到ela，则我们有：0=ae=at(b-p)=a(b-xa)=ab-xaa从而我们有：aTbPaTa即我们所需要求的投影p为：aTbpaata另一个算法aTb我们有：注意到：p=a,Ilpll=bll cose以及cos=aal/baTba.ba·blbllcose[b]llall2a'aIallIlalllall/bll304
投影的计算 (I) 假设： p = x^a 则 e = b − p，注意到 e⊥a，则我们有： 0 = a · e = a T (b − p) = a T (b − x^a) = a Tb − x^a Ta 从而我们有： x^ = a Tb a Ta 即我们所需要求的投影 p 为： p = a Tb a Ta a 另一个算法 注意到：p = ∥p∥ ∥a∥ a，kpk = kbk cos θ 以及 cos θ = a Tb ∥a∥∥b∥，我们有： x^ = kbk cos θ kak = kbk kak a · b kakkbk = a · b kak 2 = a Tb a Ta 304
上海饰境大筝最小误差的证明（不使用cos0）Shanghai Normal Universit我们来证明，当误差最小的时候恰好为e与p垂直的时候：b-xa?=b-p+p-xall2=b-pll2+p-xa2+2(b-p): (p-xa)=b-pll2+xa-xa?+2(b-p)·(xa-xa)=b-p+(-x)a+2(-x)(b-p)·a= b - pll2 + (-x)all2≥b-pI2最后一个不等式等号成立当且仅当x父，所以我们得到p是a方向这条线上唯一的一个点使得其与b的距离是最近的。305
最小误差的证明 (不使用 cos θ) 我们来证明，当误差最小的时候恰好为 e 与 p 垂直的时候： kb − xak 2 = kb − p + p − xak 2 = kb − pk 2 + kp − xak 2 + 2(b − p) · (p − xa) = kb − pk 2 + kx^a − xak 2 + 2(b − p) · (x^a − xa) = kb − pk 2 + (x^ − x) 2 kak 2 + 2(x^ − x)(b − p) · a = kb − pk 2 + (x^ − x) 2 kak 2 ⩾ kb − pk 2 最后一个不等式等号成立当且仅当 x = x^，所以我们得到 p 是 a 方向这条线上唯一的一个点 使得其与 b 的距离是最近的。 305