上海师苑大学矩阵A的空间理解(II)Shanghai Normal Universitmxn的矩阵A的四个空间A的列空间A的行空间维数=r维数=r行空间的元素Axrou=b零空间的元素Axll=090909A的零空间AT的零空间维数=n-r维数=m-r296R的子空间R的子空间
矩阵 A 的空间理解 (II) m × n 的矩阵 A 的四个空间 A 的行空间 A 的列空间 A 的零空间 AT 的零空间 R n 的子空间 R m 的子空间 90◦ 90◦ 维数 = r 维数 = n − r 维数 = m − r 维数 = r 行空间的元素 Axrow = b 零空间的元素 Axnull = 0 296
称作”补“的原因上海饰烧大筝Shanghai NormalUniversit我们考虑R2的子集：V=((x, 0) / xe R)其正交补为：V =((0, y) lye R)注意到：R≠VUV+，但每个（x,y)ER都可以表示为：(x,y)= (x,0) +(0,y)引理139.令V是Rn的一个子空间，则对于任一XER"，我们都存在唯一的VEV和vIEVL使得：X=v+vl换句话说，Rn=V+V-=(u+vlueVandvevl)297
称作”补“的原因 我们考虑 R 2 的子集： V = {(x, 0) | x ∈ R} 其正交补为： V ⊥ = {(0, y) | y ∈ R} 注意到：R 6= V ∪ V ⊥，但每个 (x, y) ∈ R 都可以表示为： (x, y) = (x, 0) + (0, y) 引理 139. 令 V 是 R n 的一个子空间，则对于任一 x ∈ R n，我们都存在唯一的 v ∈ V 和 v ⊥ ∈ V ⊥ 使得： x = v + v ⊥ 换句话说， R n = V + V ⊥ = {u + v | u ∈ V and v ∈ V ⊥} 297
上海师苑大学矩阵A的空间理解(III)Shanghai Normal Universitmxn的矩阵A的四个空间A的列空间A的行空间维数=r维数=rAx, =bbAx=b=Xr+X90°900--Axn=0XnA的零空间AT的零空间维数=n-r维数=m-r298R的子空间R的子空间
矩阵 A 的空间理解 (III) m × n 的矩阵 A 的四个空间 A 的行空间 A 的列空间 A 的零空间 AT 的零空间 R n 的子空间 R m 的子空间 90◦ 90◦ 维数 = r 维数 = n − r 维数 = m − r 维数 = r xr xn b x = xr + xn Axr = b Ax = b Axn = 0 298
上海饰烧大筝关于引理140Shanghai NormalUniversit引理140令V是Rn的一个子空间，则对于任一XEIRn，我们都存在唯一的EV和v+EVI使得：X=V+vl换句话说，Rn=+yl=(u+vlueVandvel)说明1.我们需要一些额外的手段(投影，Projection)来证明上述结论，也就是我们接下来要讨论的内容。2作为一个作业，你们被要求先来尝试证明其唯一性。299
关于引理140 引理 140. 令 V 是 R n 的一个子空间，则对于任一 x ∈ R n，我们都存在唯一的 v ∈ V 和 v ⊥ ∈ V ⊥ 使得： x = v + v ⊥ 换句话说， R n = V + V ⊥ = {u + v | u ∈ V and v ∈ V ⊥} 说明 1. 我们需要一些额外的手段(投影，Projection)来证明上述结论，也就是我们接下来要 讨论的内容。 2. 作为一个作业，你们被要求先来尝试证明其唯一性。 299
阶段总结上海师坛大学Shanghai Normal Universit·正交的概念。子空间正交。·正交补的概念。线性代数基本定理的第二部分。·矩阵的四个空间的几何直观。：正交补的性质，待证明的引理140。300
阶段总结 • 正交的概念。子空间正交。 • 正交补的概念。线性代数基本定理的第二部分。 • 矩阵的四个空间的几何直观。 • 正交补的性质，待证明的引理140。 300