些例子上海师玩大学Shanghai Normal University例141.2来说，1. 对于 b其投影a332来说2.对于b其投影30[13.对于b和a来说，aTb=5.a2=9，从而其投影p为2-12100 20 9a'b10ToP=xaa=ala306
一些例子 例 141. 1. 对于 b = a = " 2 3 # 来说，其投影 p = " 2 3 # 2. 对于 b = " 3 −2 # , a = " 2 3 # 来说，其投影 p = " 0 0 # 3. 对于 b = 1 1 1 和 a = 1 2 2 来说，a Tb = 5, kak 2 = 9，从而其投影 p 为： p = x^a = a Tb a Ta a = 5 9 a = 5 9 10 9 10 9 306
投影矩阵P上海饰烧大筝Shanghai Normal University给定aERm和bERm，前面我们已经给出了b在a上的投影p，是否可以找到一个矩阵P，使得我们有：Pb=p解142aaPa'a这里P是一个mxm的矩阵。证明aaTaTbaaTbaaTbPbba=pa'aa'aa'aala口说明注意aTb既可以当成1×1的矩阵，也可以当成是一个R中的数。307
投影矩阵 P 给定 a ∈ Rm 和 b ∈ Rm，前面我们已经给出了 b 在 a 上的投影 p，是否可以找到一个矩阵 P，使得我们有： Pb = p 解 142. P = aaT a Ta 这里 P 是一个 m × m 的矩阵。 证明. Pb = aaT a Ta b = aa Tb a Ta = a Tba a Ta = a Tb a Ta a = p 说明 注意 a Tb 既可以当成 1 × 1 的矩阵，也可以当成是一个 R 中的数。 307
上海师坛大学误差投影矩阵Shanghai Normal Universit回顾投影的误差是：e=b-p从而当P是投影矩阵的时候，我们有：(I-P)b=Ib-Pb=b-p注意到e是与p垂直的，从而I一P是一个将b投影到与a正交的子空间的投影矩阵。308
误差投影矩阵 回顾投影的误差是： e = b − p 从而当 P 是投影矩阵的时候，我们有： (I − P)b = Ib − Pb = b − p 注意到 e 是与 p 垂直的，从而 I − P 是一个将 b 投影到与 a 正交的子空间的投影矩阵。 308
正交和投影（OrthogonalityandProjection投影到一个子空间
正交和投影 (Orthogonality and Projection) 投影到一个子空间
投影到一个子空间上海饰境大学ahaiNpnmalUriversit我们现在来考虑对一个子空间的投影。令a1，·，anERm是线性无关的，即他们是下列子空间的一组基：Wspan((ai,...,an))与到一条线的投影相同，b到V的投影应该是V中离b最近的元素（可能是唯一的？）也就是说，我们需要寻找到V中的一个向量p：p=xiai+...+nan使得 [b-pll最小记号记父=(1,...,n)和A=ai...an则我们有：p=Ax这里A是一个mxn的矩阵。310
投影到一个子空间 我们现在来考虑对一个子空间的投影。令 a1, · · · , an ∈ Rm 是线性无关的，即他们是下列子 空间的一组基： V = span({a1, · · · , an}) 与到一条线的投影相同，b 到 V 的投影应该是： V 中离 b 最近的元素 (可能是唯一的？) 也就是说，我们需要寻找到 V 中的一个向量 p： p = x^1a1 + · · · + x^nan 使得 kb − pk 最小 记号 记 x^ = (x^1, . . . , x^n) 和 A = h a1 · · · an i ，则我们有： p = Ax^ 这里 A 是一个 m × n 的矩阵。 310