正交补的性质上海师玩大学Shanghai Normal University引理137.令V是Rn的一个子空间，则1.V土是一个子空间。2.VIV+。3.令W是Rn的子空间，如果WIV，则WCVI，即V+是最大的与V正交的子空间。4: (V-)+ = V。291
正交补的性质 引理 137. 令 V 是 R n 的一个子空间，则： 1. V ⊥ 是一个子空间。 2. V⊥V ⊥。 3. 令 W 是 R n 的子空间，如果 W⊥V，则 W ⊆ V ⊥，即 V ⊥ 是最大的与 V 正交的子空 间。 4. (V ⊥) ⊥ = V。 291
线性代数基本定理，第二部分上海饰烧大筝Shanghai Normal University定理138[Fundamental TheoremofLinearAlgebra,Partll]令A是一个m×n的矩阵：则其零空间N(A)是行空间 C(AT)的正交补，即：N(A) = (C(AT)+我们再来从几何的角度理解一下矩阵A。292
线性代数基本定理，第二部分 定理 138 [Fundamental Theorem of Linear Algebra, Part II]. 令 A 是一个 m × n 的矩阵，则其零空间 N(A) 是行空间 C(AT ) 的正交补，即： N(A) = (C(A T ))⊥ 我们再来从几何的角度理解一下矩阵 A。 292
关于矩阵A的空间上海师烧大学Shanghai Normal University我们已经介绍了矩阵A的四个空间1.C(A)：A的列空间，即所有的Ax的集合。2.N(A)：A的零空间，即Ax=0的解的集合。3.C(AU)：A的行空间，即所有的Ay的集合。4N(AT)：AT的零空间，即ATx=O的解的集合。我们同样引入AT的零空间N（AT），其是ATy=O的解的集合，即：y'A=0的解的集合，我们称其为A的左零空间（LeftNullspace)。293
关于矩阵 A 的空间 我们已经介绍了矩阵 A 的四个空间： 1. C(A)：A 的列空间，即所有的 Ax 的集合。 2. N(A)：A 的零空间，即 Ax = 0 的解的集合。 3. C(AT )：A 的行空间，即所有的 ATy 的集合。 4. N(AT )：AT 的零空间，即 ATx = 0 的解的集合。 我们同样引入 AT 的零空间 N(AT )，其是 ATy = 0 的解的集合，即： y TA = 0 的解的集合，我们称其为 A 的左零空间 (Left Nullspace)。 293
上海饰境大学线性代数基本定理Shanghai Normal Universit我们再来回顾一下线性代数基本定理：定理138[FundamentalTheoremofLinearAlgebra,PartI]令A是一个m×n的矩阵并且rank(A）=r则）1. dim(C(A)) = dim(C(A)) = r2dim(N(A))=n-r,dim(N(A))=m-r。定理138[Fundamental TheoremofLinearAlgebra,Part I]令A是一个m×n的矩阵，则1. N(A) = (C(A)2. N(AT) = (C(A)I294
线性代数基本定理 我们再来回顾一下线性代数基本定理： 定理 138 [Fundamental Theorem of Linear Algebra, Part I]. 令 A 是一个 m × n 的矩阵并且 rank(A) = r，则： 1. dim(C(A)) = dim(C(AT )) = r。 2. dim(N(A)) = n − r, dim(N(AT )) = m − r。 定理 138 [Fundamental Theorem of Linear Algebra, Part II]. 令 A 是一个 m × n 的矩阵，则： 1. N(A) = (C(AT ))⊥ 2. N(AT ) = (C(A))⊥ 294
上海师苑大学矩阵A的空间理解（I)Shanghai Normal Universitmxn的矩阵A的四个空间A的列空间A的行空间维数=r维数=r900900A的零空间AT的零空间维数=n-r维数=m-r295R的子空间R的子空间
矩阵 A 的空间理解 (I) m × n 的矩阵 A 的四个空间 A 的行空间 A 的列空间 A 的零空间 AT 的零空间 R n 的子空间 R m 的子空间 90◦ 90◦ 维数 = r 维数 = n − r 维数 = m − r 维数 = r 295