唯一性。假设存在实数元，μ使得i=a=4a,则(a-)a=0,因为a≠0，故1=4， 唯一性得证。 命愿1.4.2a与b共线的充分必要条件是存在不全为0的实数乙，μ使得1a+ud=0。 证明：必要性。设a与6共线。若a=b=0,则有1a+1b=0,结论成立。 若a与i不全为零向量0，不妨设a≠0，则存在实数1使得b=a,从而有 a+(-)i=0. 充分性。若有不全为为0的实数元，μ使得a+ub=0,不妨设元≠0，由1a+ub=0得 a=-兰6，因此a与b共线. 推论1.4.1a与i不共线的充分必要条件是2a+ub=0当且仅当实数1=4=0。 命题1.43若c=a+i,则a,i,c共面 证明：若a∥b,则c,a,i共线，从而它们共面。若a不平行于b,则当1>0.4>0 时，由下图知c,a,b共面。对元，μ的其他取值情况，可以类似证明。 命题1.4.4若a,c共面，并且a与i不共线，则存在唯一的一对实数乙，4使得 c=ha+ub 证明：存在性。从同一点O作向量OA-a,OB=iOC-c。又过C作CD∥OB,且与直 线O4交于D。因为OD与a共线，所以存在实数1使得OD=2a。同理有DC=ub. 因此有 c=OC=OD+DC=aa+b。 唯一性。假设存在两组实数入，以，A,片使得c=2ā+Hb=a+4b,则有 (-)a+(4-4)b=0, 因为a与b不共线，由推论1.41可得（元-）=(u-4)=0,唯一性得证
唯一性。假设存在实数 , 使得 b a a = = ，则 ( ) 0 − = a ，因为 a 0 ，故 = ， 唯一性得证。 命题 1.4.2 a 与 b 共线的充分必要条件是存在不全为 0 的实数 , 使得 a b + = 0 。 证明：必要性。设 a 与 b 共线。若 a b = = 0 ，则有 1 1 0 a b + = ，结论成立。 若 a 与 b 不全为零向量 0 ，不妨设 a 0 ，则存在实数 使得 b a = ，从而有 a b + − = ( 1) 0 。 充分性。若有不全为为 0 的实数 , 使得 a b + = 0 ，不妨设 0 ，由 a b + = 0 得 a b = − ，因此 a 与 b 共线。 推论 1.4.1 a 与 b 不共线的充分必要条件是 a b + = 0 当且仅当实数 = = 0 。 命题 1.4.3 若 c a b = + ，则 abc , , 共面。 证明：若 a ∥ b ，则 c a b , , 共线，从而它们共面。若 a 不平行于 b ，则当 0, 0 时，由下图知 c a b , , 共面。对 , 的其他取值情况，可以类似证明。 命 题 1.4.4 若 abc , , 共面，并且 a 与 b 不共线,则存在唯 一的一对 实数 , 使得 c a b = + 。 证明：存在性。从同一点 O 作向量 OA a OB b OC c = = = , , 。又过 C 作 CD ∥ OB ，且与直 线 OA 交于 D 。因为 OD 与 a 共线，所以存在实数 使得 OD a = 。同理有 DC b = 。 因此有 c OC OD DC a b = = + = + 。 唯一性。假设存在两组实数 1 1 , ; , 使得 1 1 c a b a b = + = + ，则有 1 1 ( ) ( ) 0 − + − = a b ， 因为 a 与 b 不共线, 由推论 1.4.1 可得 1 1 ( ) ( ) 0 − = − = ，唯一性得证
命题1.4.5a,ic共面的充分必要条件是存在不全为0的实数元，山，y使得 2a+ub+vc=0。 证明：必要性。设a,c共面，若a不平行于b,则存在实数元，μ使得c=1a+b,则有 a+b+(-1)c=0。 若a∥i,则存在不全为0的实数元，4使得aa+ub-0,从而有2a+i+0c=0。 充分性，不黄设0，由a+46+G-0利9=-兰5-营天，因此a6共面. 推论1.42a,b,c不共面的充分必要条件是元a+ub+vc=0当且仅当实数 元=u=y=0。 补充内容： 定义1对于n(n≥1)个向量a,a2,.,aa,若存在不全为零的实数，2，.，.，使得 a+2a2+.+nan=0, (1.44) 则称向量a,a2,.,a线性相关。不是线性相关的向量叫做线性无关，即向量组a1,a2,.,a。 线性无关： 2am+元a2+.+元an=0台=2=.=元n=0。 定理1在n≥2时，向量a,a2,.,an线性相关的充要条件是其中至少有一个向量是其余向 量的线性组合。 证明：设向量a,a2,.,an线性相关，则存在不全为零的实数入，.，入，使得 a+22+.+2an=0, 且，n中至少有一个不等于0，不妨设入n≠0，则 反过来，设向量a,a2,.,an中有一个向量，不妨设为an是其余向量的线性组合，即
命题 1.4.5 abc , , 共面的充分必要条件是存在不全为 0 的实数 , , 使得 a b c + + = 0 。 证明：必要性。设 abc , , 共面，若 a 不平行于 b ，则存在实数 , 使得 c a b = + ，则有 a b c + + − = ( 1) 0。 若 a ∥ b ，则存在不全为 0 的实数 , 使得 a b + = 0 ，从而有 a b c + + = 0 0 。 充分性。不妨设 0 ，由 a b c + + = 0 得 a b c = − − ，因此 abc , , 共面。 推 论 1.4.2 abc , , 不 共 面 的 充 分 必 要 条 件 是 a b c + + = 0 当且仅当实数 = = = 0。 补充内容： 定义 1 对于 n n( 1) 个向量 a a a 1 2 , , , n ，若存在不全为零的实数 1 2 , , , n ，使得 1 2 1 2 n 0 n a a a + + + = ， (1.4-4) 则称向量 a a a 1 2 , , , n 线性相关。不是线性相关的向量叫做线性无关，即向量组 a a a 1 2 , , , n 线性无关： 1 2 1 2 1 2 n 0 0 n n a a a + + + = = = = = 。 定理 1 在 n 2 时，向量 a a a 1 2 , , , n 线性相关的充要条件是其中至少有一个向量是其余向 量的线性组合。 证明： 设向量 a a a 1 2 , , , n 线性相关，则存在不全为零的实数 1 2 , , , n 使得 1 2 1 2 n 0 n a a a + + + = ， 且 1 2 , , , n 中至少有一个不等于 0 ，不妨设 0 n ，则 1 1 2 1 1 2 n n n n n n a a a a − − = − − − − 。 反过来，设向量 a a a 1 2 , , , n 中有一个向量，不妨设为 an 是其余向量的线性组合，即
an=a+2a2+.+元n-al a+a2+.+2naa1+(-l)an=0。 因为数，2，.，n,-1不全为0，所以向量a,a2,am线性相关。 显然，如果一组向量中的部分向量线性相关，那么这一组向量就线性相关。 如果一组向量中含有零向量，那么这一组向量就线性相关。 类似地可证明下面的定理： 定理2两向量r与e共线台e,r线性相关。 定理3三向量r与，e2共面一e,e2,f线性相关。 定理4空间任意四个或四个以上的向量总是线性相关的。 例1证明：点M在线段AB上的充要条件是：存在非负实数元，4，使得 OM=OA+uOB,且A+H=1, 其中O是任意取定的一点。 证明：（必要性）设M在线段AB上，则AM与AB同向，且0≤A≤AB,所以 AM=kAB,0≤k≤1， 任取一点O,所以OM-OA=k(OB-OA,即 OM=(1-k)0A+kOB, 取1=1-k,k=4,则+4=120，20。 (充分性)若对任一点0有非负实数入，4，使得 OM=0A+uOB,且元+u=1, 则 AM=OM-04=(10A+MOB)-(+)OA=H(OB-0A)=HAB 所以AM与AB共线，即M在直线AB上。又0≤H≤1，所以M在线段AB上
1 2 1 1 2 1 n n n a a a a − = + + + − ， 即 1 2 1 1 2 1 n n ( 1) 0 n a a a a − + + + + − = − 。 因为数 1 2 1 , , , , 1 n− − 不全为 0 ，所以向量 a a a 1 2 , , , n 线性相关。 显然，如果一组向量中的部分向量线性相关，那么这一组向量就线性相关。 如果一组向量中含有零向量，那么这一组向量就线性相关。 类似地可证明下面的定理： 定理 2 两向量 r 与 e 共线 e r, 线性相关。 定理 3 三向量 r 与 e e 1 2 , 共面 e e r 1 2 , , 线性相关。 定理 4 空间任意四个或四个以上的向量总是线性相关的。 例 1 证明：点 M 在线段 AB 上的充要条件是：存在非负实数 , ，使得 OM OA OB = + ，且 + =1， 其中 O 是任意取定的一点。 证明：（必要性）设 M 在线段 AB 上，则 AM 与 AB 同向，且 0 AM AB ，所以 AM k AB k = , 0 1， 任取一点 O ，所以 OM OA k OB OA − = − ( ) ，即 OM k OA kOB = − + (1 ) ， 取 = − = 1 , k k ，则 + = 1, 0, 0 。 （充分性）若对任一点 O 有非负实数 , ，使得 OM OA OB = + ，且 + =1， 则 AM = OM −OA = (OA + OB) − ( + )OA = (OB −OA) = AB 所以 AM 与 AB 共线，即 M 在直线 AB 上。又 0 1 ，所以 M 在线段 AB 上
例2设a,方为两不共线向量，证明u=a,a+b6,v=a,a+b,6共线的充要条件是 片-o 证明：，共线一山，线性相关，即存在不全为0的实数元，4，使得 u+v=0. (1.45) (a,+a40)a+(6+)b=0. 又因为 a,不共线一a,线性无关- a1+4,4=0,2该方程组有唯一零解二66=0。 ba+bm 例3试证：三点A,B,C共线的充分必要条件是：存在不全为0的实数入，4，V,使得 0A+OB+vOC=0,并且++v=0 其中0是任意取定的一点。 证明：必要性。若A,B,C共线，则AB与AC共线，于是存在不全为0的实数k,1使得 kAB+1AC=0。任取一点O,由上式得k(OB-O+l(OC-OA=0,即 -(k+1)OA+kOB+1OC=0。 取元=-(k+),4=k,v=1即得结论OA+uOB+vOC=0,并且++v=0。 充分性。若对某一点O,有不全为0的实数1,4，V,使得 0A+uOB+v0C=0,并且+u+v=0, 则=-(+v),于是 -(u+v)OA+HOB+vOC=0
例 2 设 a b, 为两不共线向量，证明 1 1 2 2 u a a b b v a a b b = + = + , 共线的充要条件是 1 2 1 2 0 a a b b = 。 证明： u v, 共线 u v, 线性相关，即存在不全为 0 的实数 , ，使得 u v + = 0 ， (1.4-5) 即 1 2 1 2 ( ) ( ) 0 a a a b b b + + + = 。 又因为 a b, 不共线 a b, 线性无关 1 2 1 2 0, . a a b b + = + 该方程组有唯一零解 1 2 1 2 0 a a b b = 。 例 3 试证：三点 A B C , , 共线的充分必要条件是：存在不全为 0 的实数 , , ，使得 OA OB OC + + = 0, 并且 + + =0 其中 O 是任意取定的一点。 证明：必要性。若 A B C , , 共线，则 AB 与 AC 共线，于是存在不全为 0 的实数 kl, 使得 k AB l AC + = 0 。任取一点 O ，由上式得 k OB OA l OC OA ( ) ( ) 0 − + − = ，即 − + + + = ( ) 0 k l OA kOB lOC 。 取 = − + = = ( ), , k l k l 即得结论 OA OB OC + + = 0, 并且 + + =0 。 充分性。若对某一点 O ，有不全为 0 的实数 , , ，使得 OA OB OC + + = 0, 并且 + + =0， 则 =-( + ) ，于是 − + + + = ( ) 0 OA OB OC
即 M(OB-0A)+v(OC-0A)=0, 即HAB+vAC=O。易得4，v不全为0，从而AB,AC共线，所以三点A,B,C共线。 例1设AB=a+56,BC=-2a+86,CD=3a-36,证明：A,B,D三点共线。 证明：法1.因为AD=AB+BC+CD=a+56-2a+85+3a-36=2a+106=2AB, 所以三点AB,C共线。 法2.因为 BD=BC+CD=-2a+86+3a-36=a+56=AB 所以三点A,B,C共线。 例2设e不平行于e2,问a=e-2e2,=3记+e2是否线性相关？ 解法1国为子所以口-6-2运6=站+云不是线性相关 法2.设a+b=0,则(+3)e+(-22+)e2=0,因为e1不平行于e2,所以 ”。有Aa-0,a6不线E 法3.因为a≠0，假设6=ka,得(3-k)e+1+2k)e2=0,因为e与e2不线性相关，所 以3-k=0一k=3,1+2k=0一k=0.5,产生矛盾，所以a,b不是线性相关。 作业习题1.1：1,3,5,9,11,14,17
即 ( ) ( ) 0 OB OA OC OA − + − = ， 即 AB AC + = 0 。易得 , 不全为 0 ，从而 AB AC , 共线，所以三点 A B C , , 共线。 例 1 设 AB a b BC a b CD a b = + = − + = − 5 , 2 8 , 3 3 ，证明： A B D , , 三点共线。 证明：法 1. 因为 AD AB BC CD a b a b a b a b AB = + + = + − + + − = + = 5 2 8 3 3 2 10 2 , 所以三点 A B C , , 共线。 法 2. 因为 BD BC CD a b a b a b AB = + = − + + − = + = 2 8 3 3 5 , 所以三点 A B C , , 共线。 例 2 设 e1 不平行于 e2 ，问 a e e b e e = − = + 1 2 1 2 2 , 3 是否线性相关？ 解：法 1. 因为 1 2 3 1 − ，所以 a e e b e e = − = + 1 2 1 2 2 , 3 不是线性相关。 法 2. 设 a b + = 0 ，则 ( 3 ) ( 2 ) 0 + + − + = e e 1 2 ，因为 e1 不平行于 e2 ，所以 3 0, 2 0, + = − + = 解得 = = 0 ，所以 a b, 不是线性相关。 法 3. 因为 a 0 ，假设 b ka = ，得 (3 ) (1 2 ) 0 − + + = k e k e 1 2 ，因为 e1 与 e2 不线性相关，所 以 3 0 3,1 2 0 0.5 − = = + = = − k k k k ，产生矛盾，所以 a b, 不是线性相关。 作业 习题 1.1： 1，3，5，9，11，14，17