第四章高阶微分方程 在实际工作中除了前面讨论过一阶微分方程外，还常常遇到一些二阶及二阶以上的微分 方程，即高阶微分方程本章主要论述两方面问题：一是线性方程的理论基础和常系数线性 方程的解法：二是一般高阶方程的降阶问题，尤其是二阶微分方程的降解法. §4.1线性微分方程的基本理论 记 ++ 这里a,(),a)是区间a,b上连续函数 形如 L(x)=f(t) (4.1), 这里f)为区间[a,b]上连续函数，称方程4.1)为n阶线性微分方程 特别地若f)=0,即 L(x)=0 (42), 则称方程(42)为n阶齐线性微分方程： 若f)≠0，则称方程(4.1)为n阶非齐线性微分方程 为简便计，以下称微分方程为方程下面不加证明给出n阶线性方程解的存在唯一性定 理 定理1设1，∈a,b和x,x,.,x-为n+1个任意常数，若a,),.,a,0及f)都于 区间[a,b]上连续，则方程(4.1)于[a,b]上存在唯一解x=p()满足初始条件 )=o=9,=x43 t dt" 注1对于n阶线性微分方程(4.1)冲中a,(),a()和f)的连续区间范围有多大，则4.1) 满足初始条件的最大存在区间不小于上述区间 引理设x()和x)为任意两个n次可微函数，k,k,为任意常数，则有 L.(kx()+k2x2(0)=kL(x,()+k2L.(x2() 证明直接验证即可. 51
57 第四章 高阶微分方程 在实际工作中除了前面讨论过一阶微分方程外，还常常遇到一些二阶及二阶以上的微分 方程，即高阶微分方程.本章主要论述两方面问题：一是线性方程的理论基础和常系数线性 方程的解法；二是一般高阶方程的降阶问题，尤其是二阶微分方程的降解法. §4.1 线性微分方程的基本理论 记 a t x dt d x a t dt d x L x n n n n n n ( ) ( ) ( ) 1 1 = + 1 + + − − L ， 这里 ( ), , ( ) 1 a t a t L n 是区间[a,b]上连续函数. 形如 L (x) f (t) n = (4.1)， 这里 f (t)为区间[a,b]上连续函数，称方程(4.1)为n 阶线性微分方程. 特别地若 f (t) = 0 ，即 L (x) = 0 n (4.2)， 则称方程(4.2)为n 阶齐线性微分方程； 若 f (t) ≠ 0 ，则称方程(4.1)为n 阶非齐线性微分方程. 为简便计，以下称微分方程为方程.下面不加证明给出 n 阶线性方程解的存在唯一性定 理. 定理 1 设t [a,b] 0 ∈ 和 ( ) ( 1) 0 1 0 0 , , , n− x x L x 为 n +1个任意常数，若 ( ), , ( ) 1 a t a t L n 及 f (t)都于 区间[a,b]上连续，则方程(4.1)于[a,b]上存在唯一解 x = ϕ(t) 满足初始条件 ( ) ( ) 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 ( ) , , ( ) ( ) , − − − = = = n n n x dt d t x dt d t t x ϕ ϕ ϕ L (4.3). 注 1 对于n 阶线性微分方程(4.1)中 ( ), , ( ) 1 a t a t L n 和 f (t)的连续区间范围有多大，则(4.1) 满足初始条件的最大存在区间不小于上述区间. 引理 设 ( ) 1 x t 和 ( ) 2 x t 为任意两个n 次可微函数， 1 2 k , k 为任意常数，则有 ( ( ) ( )) ( ( )) ( ( )) 1 1 2 2 1 1 2 2 L k x t k x t k L x t k L x t n + = n + n . 证明 直接验证即可
下面分两步骤讨论方程(4.1)解的性质与结构 L.n阶齐线性微分方程解的结构和性质 定理2若x,.0是方程42的m个解，则它们的线性组合c0仍是42的 解这里G,Cm为任意常数 证明由引理易知定理2结论成立 特别地当m=n时，即∑cx0为方程42)的解，它含有n个任意常数，我们当然要 问它是否为通解？先看-例，已知x0=1,x0=2均为方程=0的解，对于线性组 合立cx)=(G+2G)1仍为上方程的解，记c=G+2G,则∑cx0)=只含有-个 任意常数，故它不是通解这样自然产生了两问题：它什么时候是通解？即怎样判定函数解 组为互相独立：当它为通解时，它具有什么特性？ 回想一下，在高等代数中曾出现过向量的线性组合的概念，我们自然地想把有关向量线 性组合等概念引入到常微分方程中，请同学留意. 定义1设x(),.,xn()为区间[a,b]上的m个函数，若存在不全为零的实常数G,.,Cm 使相 G()+.+cnx(0)=0 1∈[a,b(4.4) 则称这函数组是线性相关的，否则就称这函数组在[a,b]上线性无关 注2特别是对两个定义于区间a,b]上的函数组，常用以下事实：若在区间[a,b]上有 心≠常数或口土常数，则0和0在这区间上线性无关例如，函数s血/和cQs1在 x(1) 任何区间上都是线性无关的.函数sin21-1和cos21在任何区间上线性相关的 注3在线性相关定义中恒等式(4.4)是对a,b上任一变量1均成立.例如L,1,12,.,1”在任何 区间上都是线性无关的事实上，反证，假设此函数组于区间/上线性相关，则由定义知存 在一组不全为零实常数G,.,C1,有 G+c+.+c+=01eI, 而上式左端多项式次数最高为n次，由高等代数理论知它在R上至多有n个实根，于是在I 上至多有n个实根，这与它在整个1上等于零矛盾
58 下面分两步骤讨论方程(4.1)解的性质与结构. 1. n 阶齐线性微分方程解的结构和性质 定理 2 若 ( ), , ( ) 1 x t x t L m 是方程(4.2)的 m 个解，则它们的线性组合 1 ( ) m i i i c x t = ∑ 仍是(4.2)的 解.这里 1 , , m c c L 为任意常数. 证明 由引理易知定理 2 结论成立. 特别地当 m = n时，即 1 ( ) m i i i c x t = ∑ 为方程(4.2)的解，它含有 n 个任意常数，我们当然要 问它是否为通解?先看一例，已知 x (t) t, x (t) 2t 1 = 2 = 均为方程 0 2 2 = dt d x 的解，对于线性组 合 ( ) 2 1 2 1 ( ) 2 i i i c x t c c t = ∑ = + 仍为上方程的解，记 1 2 c c c = + 2 ，则 2 1 ( ) i i i c x t ct = ∑ = 只含有一个 任意常数，故它不是通解.这样自然产生了两问题：它什么时候是通解？即怎样判定函数解 组为互相独立；当它为通解时，它具有什么特性？ 回想一下，在高等代数中曾出现过向量的线性组合的概念，我们自然地想把有关向量线 性组合等概念引入到常微分方程中，请同学留意. 定义 1 设 ( ), , ( ) 1 x t x t L m 为区间[a b, ] 上的m 个函数，若存在不全为零的实常数 1 , , m c c L ， 使得 c x t c x t t a b 1 1( ) ( ) 0 , + + = ∀ ∈ L m m [ ] (4.4)， 则称这函数组是线性相关的，否则就称这函数组在[a,b]上线性无关. 注 2 特别是对两个定义于区间[a,b]上的函数组，常用以下事实：若在区间[a,b]上有 ≠ ( ) ( ) y t x t 常数或 ≠ ( ) ( ) x t y t 常数，则 x(t) 和 y(t) 在这区间上线性无关.例如，函数sin t 和cost 在 任何区间上都是线性无关的.函数sin 1 2 t − 和 t 2 cos 在任何区间上线性相关的. 注 3 在线性相关定义中恒等式(4.4)是对[a,b]上任一变量t 均成立.例如 n ,1 tt , ,t 2 L 在任何 区间上都是线性无关的.事实上，反证，假设此函数组于区间 I 上线性相关，则由定义知存 在一组不全为零实常数 1 1 , , n c c L + ，有 1 2 1 0 n n c c t c t t I + + + = ∀ ∈ L + ， 而上式左端多项式次数最高为n 次，由高等代数理论知它在 R 上至多有n 个实根，于是在 I 上至多有n 个实根，这与它在整个 I 上等于零矛盾
定义2设x(),x()为区间[a,b]上m个m-1次可微函数，记 x(0 x2(0.x.(0Y Wx,0,x(0)=W) x() (4.5) xm-0x-0.x-) 则称W.()为这函数组的伏朗斯基(Wronsky)行列式. 定理3设x(),x.()是区间4，b上的m个m-1次可微函数，若这函数组在区间 [a,b小上线性相关，则在[a,b)上它们的伏朗斯基行列式W()=0. 证明由这函数组线性相关知，即存在一组不全为零的常数G,.,。,使得 Cx()+.+cnx()=0 i∈[a,b, 依次对此式关于1微分，得到 Cx(t)+.+Cx(t)=0 Vte a,b], cx(t)+.+c(t)=0 VIE [a,b] 上述这些事实可以改写成以G,.,Cm为未知元的齐线性代数方程组 x()x(0). xn()c）0 x(0 0 ViE la,b]. -0x-0.x-八c (0 存在一非零解(G,.,C.于是由高等代数理论知，其系数矩阵行列式必须等于零注意到这 系数行列式恰好是这函数组的伏朗斯基行列式W(),定理得证 注4此定理3的逆定理一般不成立例如考虑区间-1≤1≤1上两函数 -1s1<0和x,0- -1≤1<0 0s1s1 0≤1s1 这里h,1为大于】的正整数.注意到以下三点事实： [ht- -1≤1<0 /0 -1≤1<0 0≤1≤1 和0= 0≤1≤1 (2)W2()=0 VtE -11 9
59 定义 2 设 ( ), , ( ) 1 x t x t L m 为区间[a,b]上 m 个m −1次可微函数，记 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ′ ′ ′ = = − − − ∆ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , ( ) 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 x t x t x t x t x t x t x t x t x t W x t x t W t m m m m m m m m L L L L L L L L (4.5), 则称W (t) m 为这函数组的伏朗斯基(Wronsky)行列式. 定理 3 设 ( ), , ( ) 1 x t x t L m 是区间[a,b]上的 m 个 m −1 次可微函数，若这函数组在区间 [a,b]上线性相关，则在[a,b]上它们的伏朗斯基行列式W (t) = 0 m . 证明 由这函数组线性相关知，即存在一组不全为零的常数 1 , , m c c L ，使得 c x t c x t t a b 1 1( ) ( ) 0 , + + = ∀ ∈ L m m [ ] ， 依次对此式关于t 微分，得到 [ ] ( ) ( ) [ ] 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 0 , , ( ) ( ) 0 , , m m m m m m c x t c x t t a b c x t c x t t a b − − ′ ′ + + = ∀ ∈ + + = ∀ ∈ L LLLLLLLLLLL L 上述这些事实可以改写成以 1 , , m c c L 为未知元的齐线性代数方程组 ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 m m m m m m m x t x t x t c x t x t x t c x t x t x t c − − − ′ ′ ′ = L L L L L L M M L ∀t ∈[a,b], 存在一非零解( ) 1 , , T m c c L .于是由高等代数理论知，其系数矩阵行列式必须等于零.注意到这 系数行列式恰好是这函数组的伏朗斯基行列式W (t) m ,定理得证. 注 4 此定理 3 的逆定理一般不成立.例如考虑区间−1 ≤ t ≤ 1上两函数 ≤ ≤ − ≤ < = 0 0 1 1 0 ( ) 1 t t t x t h 和 ≤ ≤ − ≤ < = 0 1 0 1 0 ( ) 2 t t t x t l ， 这里h,l 为大于 1 的正整数.注意到以下三点事实： （1） ≤ ≤ − ≤ < ′ = − 0 0 1 1 0 ( ) 1 1 t ht t x t h 和 ≤ ≤ − ≤ < ′ = − 0 1 0 1 0 ( ) 2 1 lt t t x t l （2）W2 (t) = 0 ∀t ∈[− 1,1 ]
(3)x,),x,)在区间1川上线性无关事实上，设存在两个常数G,92,使得 G9￥(0+Cx)=0 1e-l, 则当1∈一1,0)时，可得c=0；当1∈0,1时，可得c2=0.因此线性无关 这表明定理2的逆定理不成立自然想问逆定理在什么条件下成立？ 定理4设x().,x()是方程4.2)的n个解，若它们在区间[a,上线性无关，则 W()≠0V1∈a.b 证明反证，假设结论不真设存在1。∈[a,b小，有Wn(o)=0构造关于以(G,.,cn)/为解的 齐线性代数方程组 x.(L) x()G）0 x(,) ().x(6)9 0 (4.6), x()x-(6).xm-()八cn(0 由于方程组的系数矩阵行列式W()=0,故(4.6)有一非零解(G,.,Cn,即c,.,C为 一组不全为零的实数以此组实数构造一个x,(),.,x()的线性组合记 x(0=Gx(0)++cnx() 由定理2知x(1)是方程(4.2)的解，进一步由(4.6)知它具有如下性质： xo)=x')=.=x-)=0(47) 另一方面，易验证()=01∈[a,也是方程的解，同时满足 (。）=()=.=m-()=0. 由解的存在唯一性定理得x()=()=01e[a,b.由于G,Cn是一组不全为零的 实数，则可知x(),x()线性无关 注5由上两定理知以下事实：由方程(4.2)n个解构成的伏朗斯基行列式具有性质： W.()≠01e[a,b台这n个解线性无关 即此时W()在[a,b上或恒等于零，或处处不为零于是可知在注4中两个函数x,(),x,() 不可能是任何二阶齐线性方程的两个解. 注6依据解的存在唯一性定理：当方程给定时，解的存在唯一完全由初始条件确定于是结
60 （3） ( ), ( ) 1 2 x t x t 在区间[− 1,1 ]上线性无关.事实上，设存在两个常数 1 2 c c, ，使得 1 1 2 2 c x t c x t ( ) ( ) 0 + = ∀t ∈[− 1,1 ]， 则当t ∈[− 0,1 ) 时，可得 1 c = 0 ；当t ∈[ 1,0 ]时，可得 2 c = 0 .因此线性无关. 这表明定理 2 的逆定理不成立.自然想问逆定理在什么条件下成立？ 定理 4 设 ( ), , ( ) 1 x t x t L n 是方程(4.2)的n 个解，若它们在区间[a,b]上线性无关，则 W (t) ≠ 0 n ∀t ∈[a,b]. 证明 反证,假设结论不真.设存在t [a,b] 0 ∈ ，有 ( ) 0 Wn t 0 = .构造关于以( ) 1 , , T n c c L 为解的 齐线性代数方程组 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 2 0 0 1 1 0 2 0 0 2 ( 1) ( 1) ( 1) 1 0 2 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 n n n n n n n x t x t x t c x t x t x t c x t x t x t c = − − ′ ′ ′ = L L L L L L M M L (4.6)， 由于方程组的系数矩阵行列式 ( ) 0 Wn t 0 = ，故(4.6)有一非零解( 1 , , ) T n c c L ，即 1 , , n c c L 为 一组不全为零的实数.以此组实数构造一个 ( ), , ( ) 1 x t x t L n 的线性组合.记 1 1 ( ) ( ) ( ) n n x t c x t c x t = + + L ， 由定理 2 知 x(t) 是方程(4.2)的解，进一步由(4.6)知它具有如下性质： ( ) ( ) ( ) 0 0 ( )1 0 = ′ 0 = = = − x t x t x t L n (4.7). 另一方面，易验证 x (t) 0 t [a,b] ~ = ∀ ∈ 也是方程的解，同时满足 ( ) ( ) 0 ~ ~ ( ) ~ 0 ( )1 0 = ′ 0 = = = − x t x t x t L n . 由解的存在唯一性定理得 x t x (t) 0 t [a,b] ~ ( ) = = ∀ ∈ .由于 1 , , n c c L 是一组不全为零的 实数，则可知 ( ), , ( ) 1 x t x t L n 线性无关. 注 5 由上两定理知以下事实：由方程(4.2) n 个解构成的伏朗斯基行列式具有性质： W t t [a b] n ( ) ≠ 0∀ ∈ , ⇔ 这 n 个解线性无关. 即此时W (t) n 在[a,b]上或恒等于零，或处处不为零.于是可知在注 4 中两个函数 ( ), ( ) 1 2 x t x t 不可能是任何二阶齐线性方程的两个解. 注 6 依据解的存在唯一性定理：当方程给定时，解的存在唯一完全由初始条件确定.于是结
合注5，可以较容易构造方程(4.2)的n个线性无关解具体构造方法如下： 对于方程42)，取1。∈a,b,分别 由满足初始条件x。)=1x。)=0,.,x-6。)=0,得方程的第一个解x): 由满足初始条件x,(。)=0,x)=L,.,xm-。)=0,得方程的第二个解x,(): 由满足初始条件x)=0,x,)=0,.,x-(,)=1,得方程的第n个解x,() 10.0 计算上述解组的伏朗斯基行列式W(。)= 01.0 =1≠0，于是由注5知这个解 00.1 在区间[a,b上线性无关这表明方程(42)一定存在n个线性无关解。 不加证明给出方程(4.2)通解结构定理 定理5若x(),x()是方程(4.2)的n个线性无关解，则方程(4.2)的通解可表示为 x(1)=Gx(1)++cx(1)(4.8), 这里C,.,C为任意常数，且通解表达式包括了方程的所有解的表示 注7此定理5表明方程(42)的所有解构成一个n维线性空间.称方程(4.2)的任一组n个线 性无关解为方程(42)的基本解组，也就是解空间的一组基 2.n阶非齐线性微分方程的解的结构和性质 对于两个n阶线性方程 L.()=f04.) 和 L.(x)=g) (4.9) 这里f(t),g(1)是区间a,b上的连续函数. 定理6（叠加原理）设x()和x,()分别是方程(4.1)和(4.9)的两个解，G,C2为任意两个常 数.则cx()+cx,()）为方程L(x)=Cf()+C8()的解。 证明直接验证即可. 注8(1)在上定理中取g)=0,G==1,则有结论：若x()和x)分别是方程(4.1) 和方程(4.2)的解，则x,()+x2()是方程(4.1)的解： 61
61 合注 5，可以较容易构造方程(4.2)的n 个线性无关解.具体构造方法如下： 对于方程(4.2)，取t [a,b] 0 ∈ ，分别 由满足初始条件 ( ) ,1 ( ) ,0 , ( ) 0 0 ( )1 1 0 = 1 ′ 0 = 1 = − x t x t x t L n ，得方程的第一个解 1 x t( ) ； 由满足初始条件 ( ) ,0 ( ) ,1 , ( ) 0 0 ( )1 2 0 = ′ 2 0 = 2 = − x t x t x t L n ，得方程的第二个解 2 x t( ) ； . 由满足初始条件 ( ) ,0 ( ) ,0 , ( ) 1 0 ( )1 0 = ′ 0 = = − x t x t x t n n n L n ，得方程的第n 个解 ( ) n x t . 计算上述解组的伏朗斯基行列式 ( ) 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 = = ≠ L L L L L L L W t n ，于是由注 5 知这个解 在区间[a,b]上线性无关.这表明方程(4.2)一定存在n 个线性无关解. 不加证明给出方程(4.2)通解结构定理 定理 5 若 ( ), , ( ) 1 x t x t L n 是方程(4.2)的n 个线性无关解，则方程(4.2)的通解可表示为 1 1 ( ) ( ) ( ) n n x t c x t c x t = + + L (4.8), 这里 1 , , n c c L 为任意常数，且通解表达式包括了方程的所有解的表示. 注 7 此定理 5 表明方程(4.2)的所有解构成一个n 维线性空间. 称方程(4.2)的任一组 n 个线 性无关解为方程(4.2)的基本解组，也就是解空间的一组基. 2．n 阶非齐线性微分方程的解的结构和性质 对于两个n 阶线性方程 L (x) f (t) n = (4.1) 和 L (x) g(t) n = (4.9) 这里 f (t), g(t)是区间[a,b]上的连续函数. 定理 6（叠加原理） 设 ( ) 1 x t 和 ( ) 2 x t 分别是方程(4.1)和(4.9)的两个解， 1 2 c c, 为任意两个常 数.则 1 1 2 2 c x t c x t ( ) ( ) + 为方程 1 2 ( ) ( ) ( ) L x c f t c g t n = + 的解. 证明 直接验证即可. 注 8 （1）在上定理中取 1 2 g t c c ( ) 0, 1 = = = ，则有结论：若 ( ) 1 x t 和 ( ) 2 x t 分别是方程(4.1) 和方程(4.2)的解，则 ( ) ( ) 1 2 x t + x t 是方程(4.1)的解；