-b 例1设互不共线的三向量a五©，试证：思是们的件点与始点相造收-个三角形 的充要条件是它们的和是零向量。 证明：必要性。设三向量a,i,c可以构成三角形ABC(图1-7)， 即有 AB=a,BC=b,CA=c, a 那么， (图1.) AB+BC+CA=a+b+c=AA=0. 即 a+b+c=0. 充分性。设a+b+c=0,作AB=a,BC=五，那么AC=a+b,所以AC+c=0,从 而c=CA,所以a,i,c可以构成三角形ABC。 例2用向量法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 证明：设四边形ABCD的对角线AC」 BD交于O点且互相平分（图1.8） 因此从图可看出： AB=A0+0B=0B+AO=DO+0C=DC 所以， (图1.8) AB∥DC,且AB=DC 即四边形ABCD为平行四边形
例 1 设互不共线的三向量 abc , , ，试证明：顺次将它们的终点与始点相连而成一个三角形 的充要条件是它们的和是零向量。 证明： 必要性。 设三向量 abc , , 可以构成三角形 ABC （图 1-7）， 即有 AB a BC b CA c = = = , , ， 那么， AB BC CA a b c AA + + = + + = = 0 ， 即 abc + + = 0 。 充分性。 设 abc + + = 0 ，作 AB a BC b = = , ，那么 AC a b = + ，所以 AC c + = 0 ，从 而 c CA = ，所以 abc , , 可以构成三角形 ABC 。 例 2 用向量法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 证明： 设四边形 ABCD 的对角线 AC 、 BD 交于 O 点且互相平分（图 1.8） 因此从图可看出： AB AO OB OB AO DO OC DC = + = + = + = ， 所以， AB ∥ DC ，且 AB DC = ， 即四边形 ABCD 为平行四边形。 (图 1.6) A B C a c b (图 1.7) A B D C O (图 1.8)
例3思考题：下列情形中向量的终点各构成什么图形？ ()把空间中一切单位向量归结到共同的始点。单位球面 (2)把平行于某一平面的一切单位向量归结到共同的始点。单位圆 (3)把平行于某一直线的一切单位向量归结到共同的始点。两个相距位2的点 1.1.3向量的数量乘法 位移、力、速度和加速度都是向量，而时间、质量等是数量，这些向量和数量常会发生 某些结合关系。如：质量m乘以加速度ā就得到力了，即了=ma。时间1与速度Y乘积为 向量S,即s=P。n相同的非零向量a的和是na,na的方向与a方向相同，向量na的 长度为nd=nd。下面引出向量的数量乘法这个概念。 定义13.1设1是一个数量，向量ā与的乘积是一向量，记作ā，其模等于a的入 倍，即2d-d:且方向规定如下：当2>0时，向量à的方向与d的方向相同：当元=0 时，向量ā是零向量，当元<0时，向量à的方向与ā的方向相反。 特别地，取1=-1，则向量(-)a的模与ā的模相等，而方向相反，由负向量的定义 知：(-)a=-a。 据向量与数量乘积的定义，可导出数乘向量运算符合下列运算规律： 定理1.31数量与向量的乘法满足下面的运算律：对任意的向量a,和任意实数，4有 (1)1a=a,(-1)a=-a, (2)结合律2(u@-u(aa)=-(u)a, (1.3.1) (3)第一分配律 (+ua)=Aa+ua (13.2) (4)第二分配律(a+b=1a+b. (1.3.3) 证明：()和(2)可以用定义1.3.1直接验证。 第一分配律的证明。若a=0或元，4中有一个为0，结论显然成立。下证a≠0且元，4全不 为0的情形
例 3 思考题：下列情形中向量的终点各构成什么图形？ （1）把空间中一切单位向量归结到共同的始点。 单位球面 （2）把平行于某一平面的一切单位向量归结到共同的始点。 单位圆 （3）把平行于某一直线的一切单位向量归结到共同的始点。 两个相距位 2 的点 1.1.3 向量的数量乘法 位移、力、速度和加速度都是向量，而时间、质量等是数量，这些向量和数量常会发生 某些结合关系。如：质量 m 乘以加速度 a 就得到力 f ，即 f ma = 。时间 t 与速度 v 乘积为 向量 s ，即 s tv = 。 n 相同的非零向量 a 的和是 na，na 的方向与 a 方向相同，向量 na 的 长度为 na n a = 。下面引出向量的数量乘法这个概念。 定义 1.3.1 设 是一个数量，向量 a 与 的乘积是一向量，记作 a ，其模等于 | | a 的 倍，即 a a = ；且方向规定如下：当 0 时，向量 a 的方向与 a 的方向相同；当 = 0 时，向量 a 是零向量，当 0 时，向量 a 的方向与 a 的方向相反。 特别地，取 =−1 ，则向量 ( 1) − a 的模与 a 的模相等，而方向相反，由负向量的定义 知： ( 1) − = − a a 。 据向量与数量乘积的定义，可导出数乘向量运算符合下列运算规律： 定理 1.3.1 数量与向量的乘法满足下面的运算律：对任意的向量 a b, 和任意实数 , 有 (1) 1 , ( 1) a a a a = − = − ， (2) 结合律 ( ) ( ) ( ) a a a = = ， (1.3.1) (3) 第一分配律 ( ) + = + a a a ， (1.3.2) (4) 第二分配律 ( ) a b a b + = + 。 (1.3.3) 证明： (1)和(2)可以用定义 1.3.1 直接验证。 第一分配律的证明。若 a = 0 或 , 中有一个为 0 ，结论显然成立。下证 a 0 且 , 全不 为 0 的情形
情形L.若元，u同号，则a与ua同方向，则有 aa+ua=aa+ua=lala+lua=(l+luba 又 a+)d=a+4a=(+la: 因此， a+ua=(A+M)a. 并且当2，μ同号时，显然2a+ua与(a+)a同方向，所以 a+ua=(+)a. 情形2.若2,4异号，由于入，4是对称的，因此不妨设1>0,4<0。下面又分三种情况考 虑。 情形2.1若+4=0，则(1.32)左边为0a=0,而右边为 1a+(-)a=2a+(-1)2a=a+(-a=0, 因此(1.3.2)成立。 情形2.2若2+4>0，因为+4>0，-4>0，由情形1得 [i+川+(-]a=(a+)a+(-u)a, 可得 2a=(2+)a+(-μa), 从而得 a+ua=(a+)a。 情形2.3若2+4<0，因为2+与-4异号，由情形1得 [2+)+(-2a=(+)a+(-)a, 类似情形2.2可得(1.32)
情形 1. 若 , 同号，则 a 与 a 同方向，则有 a a a a a a a + = + = + = + ( ) , 又 ( ) ( ) , + = + = + a a a 因此， a a a + = + ( ) , 并且当 , 同号时，显然 a a + 与 ( ) + a 同方向，所以 a a a + = + ( ) 。 情形 2. 若 , 异号，由于 , 是对称的，因此不妨设 0, 0 。下面又分三种情况考 虑。 情形 2.1 若 + = 0 ，则(1.3.2)左边为 0 0 a = ，而右边为 a a a a a a + − = + − = + − = ( ) ( 1) ( ) 0, 因此(1.3.2)成立。 情形 2.2 若 + 0 ，因为 + − 0, 0 ，由情形 1 得 [( ) ( )] ( ) ( ) , + + − = + + − a a a 可得 a a a = + + − ( ) ( ), 从而得 a a a + = + ( ) 。 情形 2.3 若 + 0 ，因为 + 与 − 异号，由情形 1 得 [( ) ( )] ( ) ( ) + + − = + + − a a a ， 类似情形 2.2 可得(1.3.2)
第二分配律的证明。若a,6中有一个为0或1=0，结论(13.3)显然成立。下证a,6全不 为0且元≠0的情形。若a∥i,则存在实数4使得乃-ua,于是 (a+b)=(1a+u@)=1+)网=[21+)问 =[2+]a=a+a=a+(μa)=a+i 若a不平行于i,当1>0时，作OA=a,AB=b,于是0B表示a+b:作OC=2a CD=6(见课本图(1.8).则△OAB∽△OCD,从而D必在OB上，于是OD=a+拓， 所以有 2(a+而=a+6。 当1<0时，同理可证。 例1设AM是三角形ABC的中线，求证 AM=5(AB+AC)· 证明：法1.如图111，因为 AM=AB+BM=AC+CM 所以 2AM=AB+BM+AC+CM. M 但 (图1.11) BM+CM=BM+MB=0, 因此 2AM=AB+AC. 即AM=(AB+AC). 法2.因为M是三角形ABC的边BC的中点，所以BM=}BC,故 AM-AB+BM-a+BC-a+(b-a)-](B+a)
第二分配律的证明。若 a b, 中有一个为 0 或 = 0 ，结论（1.3.3）显然成立。下证 a b, 全不 为 0 且 0 的情形。 若 a ∥ b ，则存在实数 使得 b a = ，于是 ( ) (1 ) [(1 ) ] [ (1 ) ] [ ] ( ) . a b a a a a a a a a a a b + = + = + = + = + = + = + = + 若 a 不平行于 b ，当 0 时，作 OA a AB b = = , ，于是 OB 表示 a b + ；作 OC a = ， CD b = （见课本图(1.8)）。则 OAB ∽ OCD ，从而 D 必在 OB 上，于是 OD a b = + ， 所以有 ( ) a b a b + = + 。 当 0 时，同理可证。 例 1 设 AM 是三角形 ABC 的中线，求证 1 ( ) 2 AM AB AC = + 。 证明： 法 1. 如图 1-11，因为 AM AB BM AC CM = + = + ， 所以 2AM AB BM AC CM = + + + ， 但 BM CM BM MB + = + = 0， 因此 2AM AB AC = + ， 即 1 ( ) 2 AM AB AC = + 。 法 2. 因为 M 是三角形 ABC 的边 BC 的中点，所以 1 2 BM BC = ，故 1 1 1 ( ) ( ). 2 2 2 AM AB BM a BC a b a b a = + = + = + − = + A B C M (图 1.11)
法3.因为M是三角形ABC的边BC的中点，所以BM=MC,故 AM=AB+BM=a+MC=a+(B-AM). 移项除以2得A-a+b)=(AB+AC)。 1.1.4共线（共面）的向量组 定义1.4.1设a1,.,am是一组向量，.，n是一组实数，则a+3a2+.a。 叫做向量组a,.,am的线性组合，或称a=a+2a2+.入，an可以用向量a1,.,an线性 表示，或称a可以分解成向量a,.,an的线性组合 定义14.2向量组若用同一起点的有向线段表示后，它们在一条直线（一个平面）上，称这 个向量组是共线的（共面的）。 平行（共线）向量：向量a平行于向量b,意即a所在直线平行于6所在直线，记作a∥i。 若a=b或b=a,则a与b共线。 规定：零向量平行于任何向量。 共面向量：平行于同一平面的一组向量称为共面向量，易见，任两个向量总是共面的，零向 与任何共面向量组共面。 命题1.4.1若a与b共线，并且a≠0，则存在唯一的实数1使得b=a。 证明：存在性。若a与i同向，则a°=，从而有 =6=a=aa）a 取@=元，则有b=aa。若若a与i反向，则a=-b,从而有 =6=a=-a-da 取-=元，则有石=ā
法 3. 因为 M 是三角形 ABC 的边 BC 的中点，所以 BM MC = ，故 AM AB BM a MC a b AM = + = + = + − ( ), 移项除以 2 得 1 1 ( ) ( ) 2 2 AM a b AB AC = + = + 。 1.1.4 共线(共面)的向量组 定义 1.4. 1 设 a a 1, , n 是一组向量, 1 , , n 是一组实数，则 1 2 1 2 n n a a a + + 叫做向量组 a a 1, , n 的线性组合，或称 1 2 1 2 n n a a a a = + + 可以用向量 a a 1, , n 线性 表示，或称 a 可以分解成向量 a a 1, , n 的线性组合. 定义 1.4. 2 向量组若用同一起点的有向线段表示后，它们在一条直线（一个平面）上，称这 个向量组是共线的（共面的）。 平行（共线）向量：向量 a 平行于向量 b ，意即 a 所在直线平行于 b 所在直线，记作 a ∥ b 。 若 a b = 或 b a = ，则 a 与 b 共线。 规定：零向量平行于任何向量。 共面向量：平行于同一平面的一组向量称为共面向量，易见，任两个向量总是共面的，零向 与任何共面向量组共面。 命题 1.4.1 若 a 与 b 共线,并且 a 0 ,则存在唯一的实数 使得 b a = 。 证明：存在性。若 a 与 b 同向，则 0 0 a b = ，从而有 ( ) ( ) 0 0 1 1 b b b b a b a a b a a − − = = = = ， 取 1 b a − = ，则有 b a = 。若若 a 与 b 反向，则 0 0 a b = − ，从而有 ( ) ( ) 0 0 1 1 b b b b a b a a b a a − − = = = − = − ， 取 1 b a − − = ，则有 b a =