第三章一阶微分方程解的存在和唯一定理 一方面，众所周知微分方程来源于生产实际，研究微分方程的目的就在于学握它所反映 的客观规律，能动地解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况对于反映某一运动规律 的微分方程，若能解出其通解的表达式，一般来说，就能按给定的一定条件相应地选定这里 的任意常数，获得所需的特解.另一方面，在第二章我们讨论了一阶微分方程的一些初等解 法，解决了几类特殊的方程然而，我们也知道，对许多微分方程不能通过初等积分法求解 这样自然产生了以下几个问题： 1.一个不能用初等积分法求解的微分方程是否意味没有解？即一个微分方程在什么条件 下一定有解？当有解时，它的初值问题的解有多少？ 2.若记初值问题存在唯一解，而我们知道一般非线性方程无法精确求解，怎么求近似解并 估计其精确度具有十分重要的意义。 3。众所周知，由于种种条件限制，实际测出的初始条件数据往往是不精确的，它只能近似 地反映初始状态这就产生了解对初始值的连续性问题. 4.在解存在且唯一时，我们进一步还想问此解有什么性质，能否就此理论基础推广 3.1解的存在唯一性定理 本节主要是回答前两个问题 考虑一阶微分方程 dy (3.1) 这里f(x,)在矩形域 H=(x,y)llx-xo ka.ly-yo kb,a>0.b>0 有定义首先不加证明给出两个事实： (1)若f(x,y)仅在矩形域H上有定义，则(3.1)满足初始条件(x)=可能没有连续 解： (2)皮亚诺定理：若∫(x,y)在矩形域H上连续，则(3.1)满足初始条件x)=o必存 在至少一-个解y)面值会-25,0-0的存在不一事实上 y=0是满足其条件的解另外，y=x2是满足其条件的解，甚至更一般地函数 0 0≤x≤c y=(-o c<x≤1 都是满足其条件而定义于区间0≤x≤1上的连续解这里c为满足0<c<1的任意常数进 一步，一个非常有趣的事是：二十世纪三十年代前苏联数学家拉莆仑捷夫曾在矩形域H内
37 第三章 一阶微分方程解的存在和唯一定理 一方面，众所周知微分方程来源于生产实际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映 的客观规律，能动地解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况.对于反映某一运动规律 的微分方程，若能解出其通解的表达式，一般来说，就能按给定的一定条件相应地选定这里 的任意常数，获得所需的特解.另一方面，在第二章我们讨论了一阶微分方程的一些初等解 法，解决了几类特殊的方程.然而，我们也知道，对许多微分方程不能通过初等积分法求解. 这样自然产生了以下几个问题： 1． 一个不能用初等积分法求解的微分方程是否意味没有解？即一个微分方程在什么条件 下一定有解？当有解时，它的初值问题的解有多少？ 2． 若记初值问题存在唯一解，而我们知道一般非线性方程无法精确求解，怎么求近似解并 估计其精确度具有十分重要的意义. 3． 众所周知，由于种种条件限制，实际测出的初始条件数据往往是不精确的，它只能近似 地反映初始状态.这就产生了解对初始值的连续性问题. 4． 在解存在且唯一时，我们进一步还想问此解有什么性质，能否就此理论基础推广. §3.1 解的存在唯一性定理 本节主要是回答前两个问题 考虑一阶微分方程 f (x, y) dx dy = (3.1) 这里 f (x, y) 在矩形域 H = {(x, y ||) x − x0 |≤ a |, y − y0 |≤ b, a > ,0 b > 0} 有定义.首先不加证明给出两个事实： （1） 若 f (x, y) 仅在矩形域 H 上有定义，则(3.1)满足初始条件 0 0 y(x ) = y 可能没有连续 解； （2） 皮亚诺定理：若 f (x, y) 在矩形域 H 上连续，则(3.1)满足初始条件 0 0 y(x ) = y 必存 在至少一个连续解 y = y(x) .例如初值问题 = 2 y, y )0( = 0 dx dy 的解存在就不唯一.事实上， y = 0是满足其条件的解.另外， 2 y = x 是满足其条件的解,甚至更一般地函数 − < ≤ ≤ ≤ = ( ) 1 0 0 2 x c c x x c y 都是满足其条件而定义于区间 0 ≤ x ≤ 1上的连续解.这里 c 为满足 0 < c < 1的任意常数.进 一步，一个非常有趣的事是：二十世纪三十年代前苏联数学家拉莆仑捷夫曾在矩形域 H 内
构造了一个连续函数了任，)，使对应的微分方程虫=了任，)在H内经过每一点至少有 二条不同的积分曲线，此现象现在被称为拉莆仑捷夫现象 下面仅考虑解的存在且唯一问题，由于目前各高校使用的数学分析教材有异，我们想用 两种不同方法证明解的存在唯一定理首先给出一些定义和引理 定义1若存在常数L>0,使得(x,y),(x,2)∈H,总有 f(xy)-f(x,≤y-2, 则称f(x,y)在矩形域H上关于y满足李普希茨条件，此条件简称为李氏条件，这里L称为 李氏常数 注1在应用此条件时常用更强的条件“在H上连续”来代替它 定义2设X是任一非空集，对X中任意两点x,y有一实数d(x,y)与之对应且满足 1.(正定性)d(x,y)≥0：且d(x,y)=0,当且仅当x=y: 2.(对称性)d(yx)=d(x,y): 3.(三角不等式)d(x,y)≤d(x,)+d:,y) 则称d(x,y)为X中的一个距离.定义了距离d(x,)的集X称为一个距离空间，记为 (X,在不引起混乱的情形下简记为X 例1设X是n元实数组全体，定义 d(x.y)= 2偶-户 这里x=(1,.,xn),y=(,.,yn) 我们证明(X,d)是一个距离空间为此需要验证d(x,y)满足距离的三条公理.条件1和 2显然成立.关健是证明三角不等式成立.首先记向量a=(a,.,an,6=(，.，bn),则 as问风有[位a6s它@这)于是特 2a+6r2@+gA+2s2@+22+2
38 构造了一个连续函数 f (x, y) ，使对应的微分方程 f (x, y) dx dy = 在 H 内经过每一点至少有 二条不同的积分曲线，此现象现在被称为拉莆仑捷夫现象. 下面仅考虑解的存在且唯一问题，由于目前各高校使用的数学分析教材有异，我们想用 两种不同方法证明解的存在唯一定理.首先给出一些定义和引理. 定义 1 若存在常数 L > 0 ，使得∀(x, y1 ),(x, y2 ) ∈ H ，总有 1 2 1 2 f (x, y ) − f (x, y ) ≤ L y − y ， 则称 f (x, y) 在矩形域 H 上关于 y 满足李普希茨条件，此条件简称为李氏条件，这里 L 称为 李氏常数. 注 1 在应用此条件时，常用更强的条件“ y f ∂ ∂ 在 H 上连续”来代替它. 定义 2 设 X 是任一非空集，对 X 中任意两点 x, y 有一实数d(x, y) 与之对应且满足 1．（正定性）d(x, y) ≥ 0；且d(x, y) = 0，当且仅当 x = y ； 2．（对称性）d( y, x) = d(x, y) ； 3．（三角不等式）d(x, y) ≤ d(x,z) + d(z, y) . 则称 d(x, y) 为 X 中的一个距离.定义了距离 d(x, y) 的集 X 称为一个距离空间，记为 (X ,d) ，在不引起混乱的情形下简记为 X . 例 1 设 X 是 n 元实数组全体，定义 ∑= = − n i i i d x y x y 1 2 ( , ) ( ) ， 这里 ( , , ), ( , , ) 1 n 1 n x = x L x y = y L y . 我们证明(X ,d) 是一个距离空间.为此需要验证d(x, y) 满足距离的三条公理.条件 1 和 2 显然成立.关键是证明三角不等式成立.首先记向量 ( , , ), ( , , ) 1 n 1 n a a a b b L b v L v = = ，则 a b a b v v v o v ≤ ⋅ ，有 ≤ ∑ ∑ ∑ = = = n i i n i i n i aibi a b 1 2 1 2 2 1 .于是得 ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = = = = = + + = + + ≤ + n i i n i i n i i n i i n i i i n i i n i i n i i i a b a a b b a a b b 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 ( ) 2 2
✉ 设x=(x,xby=(y,.,y,:=(5,.,)是任意三点，在上不等式中命 a,=x,-,b=-y,则 [-fs[空-f[②e- dxy)≤dx,)+d(e,y) 所以(X,d)是一个距离空间记为R”. 例2考虑区间[a,b]上所有连续函数集，设x(),y)是[a,b]上任意两个连续函数，定义 d(x.y)=maxlx()-()l. 由于x)-y()也是[a,b]上的连续函数，因此有最大值距离公理中条件1和2显然成立 设x0),),)是[a,b]上任意三个连续函数，则1ea,b小， 1x)-09x(0-(0川+|(0-0sma|x)-(0川+ma|)-)川 所以 d(x.y)=maxx()-()d(x.=)+d(=.y). [a,b)]上的连续函数全体赋以上述距离d(x,y)是一个距离空间，记为Ca,b 定义3设{n}是距离空间X中的点列，x是X中一点，若当n→∞时，有d(x,x)→0， 则称当n→∞时，{任.}以x,为极限，或当n→∞时，{任，}收敛于xo,记为limx。=xo 定义4设}是距离空间X中的点列，若对任意的￡>0，存在自然数N,当m,n>N时， d(xm,xn)<e,则称n}是一Cauchy个列（基本列）若X中任意列都收敛，则称距离空 间是完备的.例如在前面例子1,2中R”和C[a,b]均是完备的 下面不加证明给出压缩映射原理 引理（压缩映射原理） 设X是完备距离空间，T:X→Y,并且对任x,y∈X,不等式
39 2 2 1 1 2 2 1 1 2 + = ∑ ∑ = = n i i n i i a b 设 ( , , ), ( , , ), ( , , ) 1 n 1 n 1 n x = x L x y = y L y z = z L z 是 任 意 三 点 ， 在 上 不 等 式 中 命 i i i i i i a = x − z ,b = z − y ，则 ( ) 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 ( ) ( ) + − ≤ − ∑ − ∑ ∑ = = = n i i i n i i i n i i i x y x z z y ， 即 d(x, y) ≤ d(x,z) + d(z, y) . 所以(X ,d) 是一个距离空间记为 n R . 例 2 考虑区间[a,b]上所有连续函数集，设 x(t), y(t) 是[a,b]上任意两个连续函数，定义 d(x, y) max | x(t) y(t |) a x b = − ≤ ≤ ， 由于 x(t) − y(t)也是[a,b]上的连续函数，因此有最大值.距离公理中条件 1 和 2 显然成立. 设 x(t), y(t),z(t) 是[a,b]上任意三个连续函数，则∀t ∈[a,b]， | x(t) y(t ||) x(t) z(t |) | z(t) y(t |) max | x(t) z(t |) max | z(t) y(t |) a x b a x b − ≤ − + − ≤ − + − ≤ ≤ ≤ ≤ 所以 d(x, y) max | x(t) y(t |) d(x,z) d(z, y) a x b = − ≤ + ≤ ≤ . [a,b]上的连续函数全体赋以上述距离d(x, y) 是一个距离空间，记为C[a,b]. 定义 3 设{xn }是距离空间 X 中的点列， 0 x 是 X 中一点，若当n → ∞ 时，有 ( , ) 0 d xn x0 → ， 则称当n → ∞ 时，{xn }以 0 x 为极限，或当 n → ∞ 时，{xn }收敛于 0 x ，记为 0 lim x x n n = →∞ . 定义 4 设{xn }是距离空间 X 中的点列，若对任意的ε > 0 ，存在自然数 N ，当m,n > N 时， ( , ) < ε m n d x x ，则称{xn }是一 Cauchy 个列（基本列）.若 X 中任意列都收敛，则称距离空 间是完备的.例如在前面例子 1，2 中 n R 和C[a,b]均是完备的. 下面不加证明给出压缩映射原理. 引理（压缩映射原理） 设 X 是完备距离空间，T : X → Y, 并且对任 x, y ∈ X ，不等式
d(T,y)≤H(x,y) 成立，这里0<日<1，则存在唯一的x∈X,使得7下=天 定理1（皮卡定理）对于方程(3.1)，若∫(x,y)在H上连续且关于y满足李普希茨条件， 则方程(3.1)一定存在h>0及存在唯一的解y=(x),定义于区间x-x。≤h上，连续且 满足初始条件 0x0)=0 (3.2) 这里h≤a 下面我们用两种方法来证明此定理 方法一：本方法采用皮卡(Picard)逐步通近法分五步来证明之为了简单起见，只就区间 名三≤+情来论，理h=m叫a始)器训对于其会情指销时 论完全一样 第一步，目的是求微分方程的初值问题的解转化为求等价的积分方程的连续解 命题1设y=(x)是方程(3.1)的定义于区间x。≤x≤x。+h上满足初始条件 px）=a (3.2) 的解，则y=x)是积分方程 y=%+f(x,y)d0≤x≤x+h,(33) 的定义于x。≤x≤x。+h上的连续解反之亦然. 正明因为y=以)是方留31)的解，放有=了化，以小.两边从x到x积分得到 xx)=(. x0≤x≤x,+h, 即有 ox)=6+fx,px)kx≤x≤。+h, 因此y=(x)是(3.3)定义于x。≤x≤x。+h上的连续解反之，若y=(x)是(33)的连续 解，则有 px)=%+f(x,9x)x≤x≤x0+h3.4, 微分之，得到”=化，以x》,又把x=X代入B4.得到以，)=，·因此y=以) d 是方程(3.1)的定义于x。≤x≤x。+h上，且满足初始条件(3.2)的解命题1得证
40 d(Tx,Ty) ≤ θd(x, y) 成立，这里0 < θ < 1，则存在唯一的 x ∈ X ，使得Tx = x . 定理 1（皮卡定理） 对于方程(3.1)，若 f (x, y) 在 H 上连续且关于 y 满足李普希茨条件， 则方程(3.1)一定存在 h > 0及存在唯一的解 y = ϕ(x) ，定义于区间| x − x |≤ h 0 上，连续且 满足初始条件 0 0 ϕ(x ) = y (3.2) 这里h ≤ a . 下面我们用两种方法来证明此定理 方法一： 本方法采用皮卡（Picard）逐步逼近法分五步来证明之.为了简单起见，只就区间 x ≤ x ≤ x + h 0 0 来讨论，这里 min , , max | ( , |) ( , ) M f x y M b h a x y ∈H = = ，对于其余情形的讨 论完全一样. 第一步，目的是求微分方程的初值问题的解转化为求等价的积分方程的连续解. 命题 1 设 y = ϕ(x)是方程(3.1)的定义于区间 x ≤ x ≤ x + h 0 0 上满足初始条件 0 0 ϕ(x ) = y (3.2) 的解，则 y = ϕ(x)是积分方程 ∫ = + x x y y f x y dx 0 ( , ) 0 x ≤ x ≤ x + h 0 0 , (3.3) 的定义于 x ≤ x ≤ x + h 0 0 上的连续解.反之亦然. 证明 因为 y = ϕ(x)是方程(3.1)的解，故有 ( , ( )) ( ) f x x dx d x ϕ ϕ = ，两边从 0 x 到 x 积分得到 ∫ − = x x x x f x x dx 0 ( ) ( ) ( , ( )) ϕ ϕ 0 ϕ x ≤ x ≤ x + h 0 0 , 即有 ∫ = + x x x y f x x dx 0 ( ) ( , ( )) ϕ 0 ϕ x ≤ x ≤ x + h 0 0 , 因此 y = ϕ(x) 是(3.3)定义于 x ≤ x ≤ x + h 0 0 上的连续解.反之，若 y = ϕ(x) 是(3.3)的连续 解，则有 ∫ = + x x x y f x x dx 0 ( ) ( , ( )) ϕ 0 ϕ x ≤ x ≤ x + h 0 0 (3.4)， 微分之，得到 ( , ( )) ( ) f x x dx d x ϕ ϕ = ，又把 0 x = x 代入(3.4)，得到 0 0 ϕ(x ) = y ，因此 y = ϕ(x) 是方程(3.1)的定义于 x ≤ x ≤ x + h 0 0 上，且满足初始条件(3.2)的解.命题 1 得证
第二步，目的是构造皮卡序列，使其在x。≤x≤x。+h上有意义 取函数(x)=。,按以下方法构造皮卡序列： p(x)=0 p(x)=%+f(s,p(s)dxo≤x≤xo+h(3.5) (n=1,2,） 命题2对于所有的n,(3.5)冲函数p(x)在x6≤x≤x。+h上有定义、连续且满足不等式 p(x)-y≤b (3.6) 证明当n=1时，(x)=+fs,%)d.显然,(x)在x≤x≤x+h上有定义、连 续且有 l阳，(x)-=fs,)ds≤f(s,≤M(x-a)≤Mh≤b, 即命题2当n=1时成立假设命题2当n=k时成立.即p,(x)在x。≤x≤x。+h有定义、连 续且满足不等式p(x)-yo≤b.下证命题2当n=k+1时也成立.事实上，由 (x)=%+f(s,P(s》达构造知P(x)在x。≤x≤x。+h上有定义、连续且有 lp(x)-W≤fs,p:(s)l≤M(x-xo)≤Mh≤b 即命题2当n=k+1时成立.由数学归纳法知命题2对于所有n均成立故命题2得证. 第三步，目的证明{仰(x)}是在x。≤x≤x。+h上一致收敛关键是构造一个特定函数项级 数，利用优级数证明其一致收敛 命题3函数序列{o(x)}在x0≤x≤x+h上是一致收敛的 证明构造函数项级数 p(x)+∑[，(x)-gxx0≤x≤x。+h(3.7, 它的前n项部分和为 S.=g(x)+l(x)-g-(x)=p.(x). 因此，要证明函数序列{和(x}在x≤x≤x,+h上一致收敛，只须证明级数3.7)在 x。≤x≤x。+h上一致收敛为此，我们进行如下的估计.当n=1,2时由(3.5)有 41
41 第二步，目的是构造皮卡序列，使其在 x ≤ x ≤ x + h 0 0 上有意义. 取函数 0 0 ϕ (x) = y ，按以下方法构造皮卡序列： ( ,2,1 ) ( ) ( , ( )) ( ) 0 0 1 0 0 0 0 = L = + ≤ ≤ + = ∫ − n x y f s s ds x x x h x y x x ϕ n ϕ n ϕ (3.5) 命题 2 对于所有的n ，(3.5)中函数 (x) ϕ n 在 x ≤ x ≤ x + h 0 0 上有定义、连续且满足不等式 ϕ n (x) − y0 ≤ b (3.6) 证明 当n = 1时， x y f s y ds x x ( ) ( , ) 0 ϕ1 = 0 + ∫ 0 .显然 ( ) 1 ϕ x 在 x ≤ x ≤ x + h 0 0 上有定义、连 续且有 x y f s y ds f s y ds M x x Mh b x x x x − = ≤ ≤ − ≤ ≤ ∫ ∫ ( ) ( , ) ( , ) ( ) 1 0 0 0 0 0 0 ϕ ， 即命题 2 当n = 1时成立.假设命题 2 当n = k 时成立.即 (x) ϕ k 在 x ≤ x ≤ x + h 0 0 有定义、连 续 且 满 足 不 等 式 ϕ k (x) − y0 ≤ b . 下 证 命 题 2 当 n = k +1 时 也 成 立 . 事 实 上 ， 由 ∫ + = + x x k k x y f s s ds 0 ( ) ( , ( )) ϕ 1 0 ϕ 构造知 ( ) 1 x ϕ k + 在 x ≤ x ≤ x + h 0 0 上有定义、连续且有 x y f s s ds M x x Mh b x x k − ≤ k ≤ − ≤ ≤ + ∫ ( ) ( , ( )) ( ) 1 0 0 0 ϕ ϕ ， 即命题 2 当n = k +1时成立.由数学归纳法知命题 2 对于所有n 均成立.故命题 2 得证. 第三步，目的证明{ϕ n (x)}是在 x ≤ x ≤ x + h 0 0 上一致收敛.关键是构造一个特定函数项级 数，利用优级数证明其一致收敛. 命题 3 函数序列{ϕ n (x)}在 x ≤ x ≤ x + h 0 0 上是一致收敛的 证明 构造函数项级数 ∑[ ] ∞ = + − − 1 0 1 ( ) ( ) ( ) i i i ϕ x ϕ x ϕ x x ≤ x ≤ x + h 0 0 (3.7), 它的前n 项部分和为 ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) 1 0 1 S x x x x n n i n = ϕ +∑ ϕi −ϕi = ϕ = − , 因此，要证明函数序列 {ϕ n (x)}在 x ≤ x ≤ x + h 0 0 上一致收敛，只须证明级数(3.7)在 x ≤ x ≤ x + h 0 0 上一致收敛.为此，我们进行如下的估计.当n = 2,1 时由(3.5)有