S3.5数值解与计算方法 由前两章的学习，我们知道对于许多微分方程，即使他们能满足解存在唯一性定理，但 是它们常常不能用初等解法求出它们的通解·因此微分方程的近似解法（包括数值解法）具 有十分重要的实际意义。本节仅简单介绍一种常用的数值解法一欧拉方法。方法并可作为 数学分析上泰勒公式和定积分几何意义的应用。 对于一阶微分方程的初值问题 (y'=f(x.y) (3.17) xa)=% 从初值条件x)=。开始，选取一定步长h,基于某确定的方法有规律逐步计算微分方程 (仔.17)的近似解y。=x),这里xn=。+n-h。这样求出的解称为数值解。欧拉方法主 要是基于方程3.17)的解y=)是平面上一光滑曲线y=(),取过点(x,y)的切线（注 意到yxn)=fxn,yn)是切线的斜率)，当x=x1时，在切线上截取的y=y,作为解的 近似解，所以此方法也欧拉折线法。于是有二出=了：，少)，则得到如下公式 Xntl -xn ∫yal=yn+hf(x.y.) (3.18) X=x0+n-h 此公式称为欧拉公式 关于近似问题必须研究局部截断误差，我们知道所谓的关于步长h的阶精度是指取 定步长h,用某一种确定的方法，当h→0，时，满足其局部截断误差为 (）一y1=oP),下面讨论欧拉方法的精度。 基于泰勒公式知，当→0，时，有 k小e.)+,+经5)-%+h+o）-+o) 于是有误差估计 (xi）-y1=Oh2）h→0.， 因此可以看到欧拉方法有一阶精度。 进一步，我们知道方程(3.17)的解y=x)等价于如下积分方程 )=%+恤 的连续解y=(x)。于是有
54 * §3.5 数值解与计算方法 由前两章的学习，我们知道对于许多微分方程，即使他们能满足解存在唯一性定理，但 是它们常常不能用初等解法求出它们的通解。因此微分方程的近似解法（包括数值解法）具 有十分重要的实际意义。本节仅简单介绍一种常用的数值解法-欧拉方法。方法并可作为 数学分析上泰勒公式和定积分几何意义的应用。 对于一阶微分方程的初值问题 ( ) ( ) = ′ = 0 0 , y x y y f x y (3.17)， 从初值条件 ( ) 0 0 y x = y 开始，选取一定步长h ，基于某确定的方法有规律逐步计算微分方程 (3.17)的近似解 ( ) n n y ≈ y x ，这里 x x n h n = + ⋅ 0 。这样求出的解称为数值解。欧拉方法主 要是基于方程(3.17)的解 y = y(x)是平面上一光滑曲线 y = y(x)，取过点( ) n n x , y 的切线（注 意到 ( ) ( ) n n n y′ x = f x , y 是切线的斜率），当 = n+1 x x 时，在切线上截取的 = n+1 y y 作为解的 近似解，所以此方法也欧拉折线法。于是有 ( ) n n n n n n f x y x x y y , 1 1 = − − + + ，则得到如下公式 ( ) = + ⋅ = + ⋅ + x x n h y y h f x y n n n n n 0 1 , (3.18) 此公式称为欧拉公式. 关于近似问题必须研究局部截断误差，我们知道所谓的关于步长 h 的 p 阶精度是指取 定 步 长 h ， 用 某 一 种 确 定 的 方 法 ， 当 h → 0+ 时 ， 满 足 其 局 部 截 断 误 差 为 ( ) ( ) 1 1 1 + + − + = p n n y x y o h ，下面讨论欧拉方法的精度。 基于泰勒公式知，当h → 0+ 时，有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 1 , 2! y y h f x y O h y O h h y x y x yh x n+ = n + ′ n + ′′ ξ n = n + ⋅ n n + = n+ + ， 于是有误差估计 ( ) ( ) 2 1 1 y x y O h n+ − n+ = h → 0+ ， 因此可以看到欧拉方法有一阶精度。 进一步，我们知道方程(3.17)的解 y = y(x)等价于如下积分方程 y( ) ( ) x y f ( ) s y s ds x ∫x = + 0 , 0 的连续解 y = y(x)。于是有
yxi)=yx)+广f,ys)=y.+广”fk. 下面估计积分广f,s)达的值，依定积分的梯形公式有如下近似估计式 "fk,sa达=)Vt)+fyn小6-x) 于是有如下改进的欧拉方法 t=g.+xy.+fh6.19 (ya1=yn+fx。,yn)h 这里一定要注意x)和y1两个符号的意义。 下面我们估计其精度，首先在x点关于带有皮亚诺余项的泰勒公式为 +))++A)+)) △x→0 取△r=号和△r=-分分别在点x=X,和点x=式处有素勒公式 4=+)-)+x+智，)+o创）A0.20 te4=9=t上9+其小+o）A0.e2 由于4)=4)和)=，+h)=y广，)+0)，则张320)和621得到 )=,)+6yx,)+yx》+o) =,)+gk,y+nayn】+oh） 再结合公式(3.19可得如下公式 x)=y1+O）, 因此改进的欧拉方法有2阶精度，这显然比原来方法要精确。要深入学习可以参考有关文献 [5]
55 y( ) ( ) ( ) x y x f ( ) ( ) s y s ds y f ( ) s y s ds n n n n x x n x x n n ∫ ∫ + + + = + = + 1 1 , , 1 。 下面估计积分 f ( ) s y( )s ds n n x ∫x +1 , 的值，依定积分的梯形公式有如下近似估计式 ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) n n n n n n x x f s y s ds f x y f x y x x n n ≈ + + + ⋅ + − ∫ + 1 1 1 , , 2 1 , 1 于是有如下改进的欧拉方法 ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) = + ⋅ = + + ⋅ + + + + y y f x y h y x y f x y f x y h n n n n n n n n n n , , , 2 1 1 1 1 1 (3.19) 这里一定要注意 ( ) n+1 y x 和 n+1 y 两个符号的意义。 下面我们估计其精度，首先在 x 点关于带有皮亚诺余项的泰勒公式为 ( ) ( ) ( ) ( )( ) (( ) ) 0 2! y x + ∆x = y x + y′ x ∆x + 1 y ′′ x ∆x 2 + O ∆x 3 ∆x → 取 2 h ∆x = 和 2 h ∆x = − ，分别在点 n x = x 和点 = n+1 x x 处有泰勒公式 ( ) ( ) ( ) ( ) + + → + = + ′ + ′′ = + 0 2 2 8 ( ) 3 2 2 1 y x O h h h y x h y x h y x y x x n n n n (3.20) 和 ( ) ( ) ( ) ( ) + − + + + + + → + = − ′ + ′′ = − 0 2 2 8 ( ) 3 1 2 1 1 1 1 2 1 y x O h h h y x h y x h y x y x x n n n n (3.21)。 由于 ( ) ( ) 2 1 2 1 + +1− = n n y x y x 和 y x y x h y (x ) O(h) ′′( n+1 ) = ′′( n + ) = ′′ n + ，则依(3.20)和(3.21)得到 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) 3 1 1 3 1 1 , , 2 2 f x y f x y O h h y x y x y x O h h y x y x n n n n n n n n n = + + + = + ′ + ′ + + + + + ， 再结合公式(3.19)可得如下公式 ( ) ( ) 3 1 1 y x y O h n+ = n+ + ， 因此改进的欧拉方法有 2 阶精度，这显然比原来方法要精确。要深入学习可以参考有关文献 [5]
习题三 一，求初值问题 少=x+yR树sLs1 y0)=0 的解存在区间，并求第三次近似解，给出在解的存在区间的误差估计。 二.1.证明格朗瓦耳(Gronwal)不等式：设K≥0，f(x)20和gx)20均在区间[a,月上 连续，且满足不等式f)sK+广fsg(s出1∈a,B,则有 f()s K exp g(s)ds 1e la.B]. 2.利用格朗瓦耳不等式证明定理1（方法一）的命题5。 三.设函数f(x,)在区域G内连续且于点(：，乃)EG的邻域内对y是单调不增的。试证 明初值问题y=fx,y以x)=,的解于x之x。一侧最多只有一个。 四.假设函数P(x)和Q(x)在区间a,月上连续，y=x,xy)是方程 盘=Pe+Qo胸解，其有=p 上试不用农解价表达式计学记把和安 dxo'dyo 2。再从解的表达式出发，利用对参数求导数的方法，检验上面所得的结果。 五度初直同题=间=的为y=小球红用 2小当0=0时表式
56 习题三 一．求初值问题 ( ) = = + 0 0 2 y x y dx dy R : x ≤ ,1 y ≤ 1 的解存在区间，并求第三次近似解，给出在解的存在区间的误差估计。 二．1．证明格朗瓦耳(Gronwall)不等式：设 K ≥ ,0 f (x) ≥ 0和 g(x) ≥ 0 均在区间[α, β ]上 连续，且满足不等式 ( ) ( ) ( ) [ ] α β α ≤ + ∈ , ∫ f t K f s g s ds t t ，则有 ( ) ( ) ≤ ∫ t f t K g s ds α exp t ∈[α,β ]。 2．利用格朗瓦耳不等式证明定理 1（方法一）的命题 5。 三．设函数 f (x, y)在区域G 内连续且于点(x0 , y0 )∈G 的邻域内对 y 是单调不增的。试证 明初值问题 ( ) ( ) 0 0 y′ = f x, y , y x = y 的解于 0 x ≥ x 一侧最多只有一个。 四 ． 假 设 函 数 P(x) 和 Q(x) 在 区 间 [α, β ] 上 连 续 ， ( ) 0 0 y = ϕ x, x , y 是 方 程 P( ) ( ) x y Q x dx dy = + 的解，其中有 ( ) 0 0 0 0 y = ϕ x , x , y 。 1． 试不用求解的表达式计算 0 0 , x ∂y ∂ ∂ ∂ϕ ϕ 和 ∂x ∂ϕ ； 2． 再从解的表达式出发，利用对参数求导数的方法，检验上面所得的结果。 五．设初值问题 ( ) 0 0 sin , y x y x y y = ′ = 的解为 ( ) 0 0 y = ϕ x, x , y ，试求 ( ) 0 0 0 x, x , y ∂x ∂ϕ 和 ( ) 0 0 0 x, x , y ∂y ∂ϕ 当 y(1) = 0时表达式