$23全微分方程与积分因子 对于一阶方程少=x,)可以采用微分形式fx,-少=0处理，此时把x,y的 dx 位置等同看待为此，将考虑如下更一般的方程 M(x,y)dk+N(x,y)dy=0(2.27) 其中M(x,y),N(x,y)为x,y的连续可微函数众所周知在数学分析中关于第二类曲线积分 时曾经讲到：当存在某个二元函数(x,y)的全微分，使得 h-密+部布=M+Nxa 则∫Md体+与路径无关且仅与u(x,)在A,B两点值有关.把此事实应用于微分方程 理论，我们定义当方程(2.27)的左端恰好是某个二元函数(x,y)的全微分，即 M+N=M-+布 dx 则称(2.27)为全微分方程进一步易知，若方程(227)为全微分方程，则其通解为 (x,y)=c(228) 其中c为任意常数 现在，我们自然会提出如下三个问题： 1.如何判断(2.27)是全微分方程？ 2.若227)为全微分方程时，如何求出函数(x,)? 3.若(227)不为全微分方程时，能否通过适当处理使之成为全微分方程 问题1：我们有如下定理 定理】方程为全微分方程的充分必要条件是 aMx,》_aNGx卫229 ax 证明考虑必要条件，假设(2.27)为全微分方程，由定义知存在一个二元函数(x,y),满足 咖-女+=临+， 股有密N-密怎少隆旅器于nN为 21
21 §2.3 全微分方程与积分因子 对于一阶方程 f (x, y) dx dy = 可以采用微分形式 f (x, y)dx − dy = 0处理，此时把 x, y 的 位置等同看待.为此，将考虑如下更一般的方程 M (x, y)dx + N(x, y)dy = 0 (2.27) 其中 M (x, y), N(x, y) 为 x, y 的连续可微函数.众所周知在数学分析中关于第二类曲线积分 时曾经讲到:当存在某个二元函数u(x, y) 的全微分，使得 dy M x y dx N x y dy y u dx x u du = ( , ) + ( , ) ∂ ∂ + ∂ ∂ = (2.28)， 则 ∫ + AB Mdx Ndy 与路径无关且仅与u(x, y) 在 A,B 两点值有关.把此事实应用于微分方程 理论，我们定义当方程(2.27)的左端恰好是某个二元函数u(x, y) 的全微分，即 dy y u dx x u M x y dx N x y dy du x y ∂ ∂ + ∂ ∂ ( , ) + ( , ) = ( , ) = ， 则称(2.27)为全微分方程.进一步易知，若方程(2.27)为全微分方程，则其通解为 u(x, y) = c (2.28) 其中c 为任意常数. 现在，我们自然会提出如下三个问题： 1． 如何判断(2.27)是全微分方程？ 2． 若(2.27)为全微分方程时，如何求出函数u(x, y) ？ 3． 若(2.27)不为全微分方程时，能否通过适当处理使之成为全微分方程. 问题 1： 我们有如下定理 定理 1 方程为全微分方程的充分必要条件是 x N x y y M x y ∂ ∂ = ∂ ∂ ( , ) ( , ) (2.29) 证明 考虑必要条件，假设(2.27)为全微分方程，由定义知存在一个二元函数u(x, y) ，满足 dy Mdx Ndy y u dx x u du = + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ， 因此有 y u N x u M ∂ ∂ = ∂ ∂ = , ，进一步观察 x y u x N y x u y M ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ 2 2 , .由于 M (x, y), N(x, y) 为
线国版所学分兴-器-器版 考虑充分条件，假设2.29)成立，观察上面，取 (x,y)=JM(x,y)dk+(x)(2.30). 其中在积分中把y看成参数，(y)为关于y的任意可微函数，下面选择(y)使得(2.29)中 (x,)满足全微分方程的定义.首先限制 -h+=N) dy =N」Mh (2.31) 其次，由于M(x,y),N(x,y)为已知的，所以只要能够验证(2.31)的右端与无关，则可以通 过模分计代0)因光目的是袋证N-子∫-0博可 计算 注意到M(x,)连续可微性，上式中交换求导的顺序是允许的，于是(y)是可求的，即 最后，可知选择由(2.32)构造的函数(y)代入(2.30)，即 x=M达+N-JMa协Q3 是满足全微分方程定义的，这证明了充分条件. 问题2：在验证方程为全微分方程后，一般可以用三种常见方法求函数 方法一：直接套用公式(2.33)： 方法二：凑微分法即采用分项组合方法处理，先把那些本身已构成全微分的项分出米，再 把剩余的项凑成全微分 方法三：利用数学分析中求第二型曲线积分计算(x,),此时我们知道积分与路径无关而 仅与起点和终点有关。选择适当点A(x。,y。)作为起点，令B(x,y),C(x,y),我们有 22
22 连续可微函数，所以由数学分析知识得到 x y u x N y M ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ 2 ，得证. 考虑充分条件，假设(2.29)成立，观察上面，取 ∫ u(x, y) = M (x, y)dx +φ(x) (2.30)， 其中在积分中把 y 看成参数，φ( y)为关于 y 的任意可微函数，下面选择φ( y)使得(2.29)中 u(x, y) 满足全微分方程的定义.首先限制 ( , ) ( ) ( , ) N x y dy d y M x y dx y y u + = ∂ ∂ = ∂ ∂ ∫ φ 即 ∫ ∂ ∂ = − M x y dx y N x y dy d y ( , ) ( , ) φ( ) (2.31) 其次，由于 M (x, y), N(x, y) 为已知的，所以只要能够验证(2.31)的右端与无关，则可以通 过积分计算出φ( y).因此目的是验证 = 0 ∂ ∂ − ∂ ∂ ∫ Mdx y N x 即可. 计算 = 0 ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ ∫ ∫ ∫ y M x N Mdx x y x N Mdx x x y N Mdx y N x 注意到 M (x, y) 连续可微性，上式中交换求导的顺序是允许的，于是φ( y)是可求的，即 M x y dx dy y y N x y ∫ ∫ ∂ ∂ φ( ) = ( , ) − ( , ) (2.32) 最后，可知选择由(2.32)构造的函数φ( y)代入(2.30)，即 ( M x y dx)dy y u x y M x y dx N x y dy ∫ ∫ ∫ ∫ ∂ ∂ ( , ) = ( , ) + ( , ) − ( , ) (2.33) 是满足全微分方程定义的，这证明了充分条件. 问题 2：在验证方程为全微分方程后，一般可以用三种常见方法求函数. 方法一：直接套用公式(2.33)； 方法二：凑微分法.即采用分项组合方法处理，先把那些本身已构成全微分的项分出来，再 把剩余的项凑成全微分. 方法三：利用数学分析中求第二型曲线积分计算u(x, y) ，此时我们知道积分与路径无关而 仅与起点和终点有关。选择适当点 ( , ) 0 0 A x y 作为起点，令 ( , ), ( , ) 0 B x y C x y ，我们有
x)=∫Mx+N,=Mx+N(x,+Mx达+N(x =Mx,)d+了N(x,yd 例9求方程y-3x2)d-(4y-x)=0的通解 解这里My-3款，N-4,时有兴-欲-1由定程1知本方程务全微分 方程为了求(x,y).我们把公式(2.33)分解便于记忆和计算，则方法一讨论知(x,y)应满足 两个方程 Ou=M=y-3x (2.34) =N=x-4y (2.35) d六w 注意到偏导数的定义，由2.34)对x积分得 4x,y)=∫Mx,y)d+y)=∫0-3x2d+y)=y-x3+y) 其次上式对y求偏导数，并代入(2.35)即有 =4=-4 du y 整理有0=-4y.积分后得(0)=-2y2,因而可得ux,川=y-2-2y2。 dv 故方程的通解为 y-x3-2y2=c 这里c为任意常数 方法二：在已判断方程是全微分方程后，由定义知一定存在可微函数(x,y),有 du=(y-3x2)d-(4y-x)d, 现在为了求(x,),首先把方程重新分项组合，得到 -3x'dx-4ydy +ydx+xdy =0, 即d(-x3-2y2)+dy=0,整理得d(-x3-2y2+y)=0,于是方程通解为 -x'-2y2+x=c 这里c为任意常数
23 ∫ ∫ ∫ = + = + + + AB AC CB u(x, y) M (x, y)dx N(x, y)dy M (x, y)dx N(x, y)dy M (x, y)dx N(x, y)dy = ∫ ∫ + y y x x M x y dx N x y dy 0 0 ( , ) ( , ) 0 例 9 求方程( 3 ) 4( ) 0 2 y − x dx − y − x dy = 的通解 解 这里 M y 3x , N x 4y 2 = − = − ，此时有 = 1 ∂ ∂ = ∂ ∂ x N y M ，由定理 1 知本方程为全微分 方程.为了求u(x, y) .我们把公式(2.33)分解便于记忆和计算，则方法一讨论知u(x, y) 应满足 两个方程 = = − ∂ ∂ = = − ∂ ∂ 4 35.2( ) y u 3 34.2( ) 2 N x y M y x x u 注意到偏导数的定义，由(2.34)对 x 积分得 ( , ) ( , ) ( ) ( 3 ) ( ) ( ) 2 3 u x y = M x y dy + φ y = y − x dx + φ y = xy − x + φ y ∫ ∫ 其次上式对 y 求偏导数，并代入(2.35)即有 x y dy d y x y u 4 ( ) = + = − ∂ ∂ φ , 整理得 y dy d y 4 ( ) = − φ ,积分后得 2 φ( y) = −2y ,因而可得 3 2 u(x, y) = xy − x − 2y , 故方程的通解为 xy − x − y = c 3 2 2 这里c 为任意常数. 方法二： 在已判断方程是全微分方程后，由定义知一定存在可微函数u(x, y) ，有 du ( y 3x )dx 4( y x)dy 2 = − − − ， 现在为了求u(x, y) ，首先把方程重新分项组合，得到 3 4 0 2 − x dx − ydy + ydx + xdy = ， 即 ( 2 ) 0 3 2 d −x − y + dxy = ，整理得 ( 2 ) 0 3 2 d −x − y + xy = ，于是方程通解为 − x − y + xy = c 3 2 2 这里c 为任意常数
方法三：于兴议-1在个R上成立不原直00，防 x,y)=M(x,0)t+N(x,y)=(0-3x2)d+'(x-4y)=-x3+xy-2y2 则方程通解为 -x3+y-2y2=c 这里c为任意常数 问题3：当方程(227)不为全微分方程时，为了把(227)化为全微分方程，我们引入积分因子 概念 若存在连续可微函数4(x,y)≠0，使得 x,y)M(x,y)k+4(x,y)N(x,y)d=0(2.36) 为全微分方程，即存在二元可微函数v=(x,),使得 则称4(x,y)为方程(2.27)的积分因子此时(x,y)=c为2.27)的通解.由条件(2.29)知，函数 4(xy)为(2.27)积分因子的充要条件是 a(uM)a(uN) dx 这是一个以(x,y)为未知函数的一阶线性偏微分方程在一般情况下，求(x,y)函数 是不易的，但是在一些若干特殊情况下，从(2.3)中求出一个特解4(x,y)还是不难的.下面 仅考虑两特殊类型 (一) 若方程227存在贝与x有关的积分因子山=以，则业=0这时237成为 am an d业一 ay ax dx (2.38) dx N 因此，方程(2.27)存在只与x有关的积分因子4=(x)当且仅当 24
24 方法三： 由于 = 1 ∂ ∂ = ∂ ∂ x N y M 在整个 2 R 上成立.不妨取点 A )0,0( ，则有 3 2 0 0 2 0 0 u(x, y) M (x )0, dx N(x, y)dy 0( 3x )dx (x 4y)dy x xy 2y x y x y = + = − + − = − + − ∫ ∫ ∫ ∫ 则方程通解为 − x + xy − y = c 3 2 2 这里c 为任意常数. 问题 3：当方程(2.27)不为全微分方程时，为了把(2.27)化为全微分方程，我们引入积分因子 概念. 若存在连续可微函数 µ(x, y) ≠ 0，使得 µ(x, y)M (x, y)dx + µ(x, y)N(x, y)dy = 0 (2.36) 为全微分方程，即存在二元可微函数v = v(x, y) ，使得 dy x y M x y dx x y N x y dy y v dx x v dv(x, y) = µ( , ) ( , ) + µ( , ) ( , ) ∂ ∂ + ∂ ∂ = 则称 µ(x, y) 为方程(2.27)的积分因子.此时v(x, y) = c 为(2.27)的通解.由条件(2.29)知，函数 µ(x, y) 为(2.27)积分因子的充要条件是 x N y M ∂ ∂ = ∂ ∂(µ ) (µ ) 即 µ µ µ ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ x N y M y M x N (2.37) 这是一个以 µ(x, y) 为未知函数的一阶线性偏微分方程.在一般情况下，求 µ(x, y) 函数 是不易的，但是在一些若干特殊情况下，从(2.37)中求出一个特解 µ(x, y) 还是不难的.下面 仅考虑两特殊类型. （一） 若方程(2.27)存在只与 x 有关的积分因子 µ = µ(x) ，则 = 0 ∂ ∂ y µ .这时(2.37)成为 dx N x N y M dx d ∂ ∂ − ∂ ∂ = µ (2.38) 因此，方程(2.27)存在只与 x 有关的积分因子 µ = µ(x) 当且仅当
aM aN ay is-) (239) N 为只与x有关的函数，则此时(2.27)有一个只与x有关的积分因子为 4(x)=ela240 (二)同上（一），方程(2.27)存在只与y有关的积分因子4()当且仅当 OM ON a=v0)24 -M 为只与y有关的函数，则此时有一个只与y有关的积分因子为 0)=eJ 例10求解方程d-xdy=0 解显然有M(x,y)=y,N(x,y)=-x,由此算出 aM aN aM aN aM aN =2,w. N x'-M 鱼上可知有积分因子4(x)=Q=之和0)=e =子利用=以方 程两边，有本-迹=0，即d-=0,所以通解为上=c,这里c为任意常数 类数用心0小=宁方程丙边，有-边-0.甲)-0，所通解为于-。 2 这里c为任意常数. 例11解方程dt-(x+y3)=0 aM aN 解显然有Mx)=Nx》E-x-y,由此算出-x=2所、3 -M y 4流立所以方程省积分因子心)=户-子·以0=立来方起酸，有
25 (x) N x N y M = ϕ ∂ ∂ − ∂ ∂ (2.39) 为只与 x 有关的函数，则此时(2.27)有一个只与 x 有关的积分因子为 ∫ = x dx x e ( ) ( ) ϕ µ (2.40) （二） 同上（一），方程(2.27)存在只与 y 有关的积分因子 µ( y) 当且仅当 ( y) M x N y M =ψ − ∂ ∂ − ∂ ∂ (2.41) 为只与 y 有关的函数，则此时有一个只与 y 有关的积分因子为 ∫ = y dy y e ( ) ( ) ψ µ . 例 10 求解方程 ydx − xdy = 0 解 显然有 M (x, y) = y, N(x, y) = −x ，由此算出 M y x N y M N x x N y M x N y M 2 , 2 ,2 = − − ∂ ∂ − ∂ ∂ = − ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ ， 由上可知有积分因子 2 2 1 ( ) x x e dx x = ∫ = − µ 和 2 2 1 ( ) y y e dy y = ∫ = − µ ，利用 2 1 ( ) x µ x = 乘以方 程两边，有 0 2 = − x ydx xdy ，即 = 0 − x y d ，所以通解为 c x y = ,这里c 为任意常数. 类似用 2 1 ( ) y µ y = 乘以方程两边，有 0 2 = − y ydx xdy ，即 = 0 y x d ，所以通解为 c y x = , 这里c 为任意常数. 例 11 解方程 ( ) 0 3 ydx − x + y dy = 解 显然有 3 M (x, y) = y, N(x, y) = −x − y ，由此算出 M y x N y M x N y M 2 ,2 = − − ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ ， 即(2.41)成立.所以方程有积分因子 2 2 1 ( ) y y e dy y = ∫ = − µ ，以 2 1 ( ) y µ y = 乘方程两边，即有