§1.2仿射坐标系与直角坐标系 12.1向量和点的仿射坐标、直角坐标 一向量分解定理（强调其作用） 定理1.2.1空间任意给定的三个不共面的向量e,2,c,则任意的向量m可以被唯一表示 成e1,e2,e3的线性组合。 证明：可表性。任取一点O,作OA1,OA2,OA,OM分别表示e1,e2,e,m。过m的终点M 作一直线与O4,平行，且与OA,OA2确定的平面交于点N。过N作一直线与O4,平行， 且与OA确定的平面交于点P。因为OP∥G,PN∥e,NM∥e,所以分别存在实数x y,:使得OP=xe,P=ye2,NM=ze。从而有 m=OM=OP+PN+NM=xe+e2+e 唯一性。若存在两组实数x,少，三，使得 m=OM=OP+PN+NM=xe+ye:+zes=xe+ye:+e3. 则有x-xe1+(y-e2+(2-e=0。因为e,e2,e不共面，所以 x-x=y-月=2-=0， 唯一性得证。 定义1.2.1空间任意三个有次序的不共面的向量e,e2,e称为空间中的一组基。对于空间中 的任一向量m,若m=x阳1+ye2+,则把有序三元数组(x,y,:)称为m在基e,e2, e中的坐标。 二空间点的仿射坐标 定义1.2.2（空间仿射坐标系）空间中的一个点0和一组基，e2,合在一起称为空间的 一个仿射标架或仿射坐标系，记为[0，2，e],其中O称为原点。对于空间中的任意一 点M,把它的定位向量OM在e,e2,e中的坐标称为点M在仿射标架O,e,e2,e中的
§1.2 仿射坐标系与直角坐标系 1.2.1 向量和点的仿射坐标、直角坐标 一 向量分解定理（强调其作用） 定理 1.2.1 空间任意给定的三个不共面的向量 e e e 1 2 3 , , ，则任意的向量 m 可以被唯一表示 成 e e e 1 2 3 , , 的线性组合。 证明：可表性。任取一点 O ，作 OA OA OA OM 1 2 3 , , , 分别表示 e e e m 1 2 3 , , , 。过 m 的终点 M 作一直线与 OA3 平行，且与 OA OA 1 2 , 确定的平面交于点 N 。过 N 作一直线与 OA2 平行， 且与 OA1 确定的平面交于点 P 。因为 OP e PN e NM e ∥ 1 2 3 , , ∥ ∥ ，所以分别存在实数 x, y z, 使得 OP xe PN e NM e = 1 2 3 , , = y = z 。从而有 m OM OP PN NM xe e e = = + + = + + 1 2 3 。 唯一性。若存在两组实数 1 1 1 x y z x y z ， ， ； ， ， ，使得 1 2 3 1 2 3 m OM OP PN NM xe ye ze x e y e z e = = + + = + + = + + 1 1 1 ， 则有 1 2 3 （x x e y y e z z e − + − + − = 1 1 1 ） （ ） （ ） 0 。因为 e e e 1 2 3 , , 不共面，所以 1 1 1 x x y y z z − = − = − = 0， 唯一性得证。 定义 1.2.1 空间任意三个有次序的不共面的向量 e e e 1 2 3 , , 称为空间中的一组基。对于空间中 的任一向量 m ，若 m xe ye ze = + + 1 2 3 ，则把有序三元数组 ( , , ) x y z 称为 m 在基 e e 1 2 , , e3 中的坐标。 二 空间点的仿射坐标: 定义 1.2.2 （空间仿射坐标系） 空间中的一个点 O 和一组基 e e e 1 2 3 , , 合在一起称为空间的 一个仿射标架或仿射坐标系，记为 O e e e ; , , 1 2 3 ，其中 O 称为原点。对于空间中的任意一 点 M ，把它的定位向量 OM 在 e e e 1 2 3 , , 中的坐标称为点 M 在仿射标架 O e e e ; , , 1 2 3 中的
坐标。 由定义1.2.2知，点M在仿射标架O,e,e2,e3中的坐标为(x,y,)的充分必要条件 OM=xe+ye2+e=(x,y,)。 在空间取定一个仿射标架后，由定理2.1.1知，空间中全体向量集合与全体有序三元数 组的集合之间就建立了一一对应：通过定位向量，空间中全体点的集合与全体有序三元数组 的集合之间也建立了一一对应。 右手系与左手系：将右手四指（拇指除外）从x轴正方向弯向y轴正方向（转角要小于 π弧度)，如果拇指所指的方向与：轴正方向在xOy坐标面同侧，则称此坐标系为右手系， 否则称为左手系。 三空间点的直角坐标： 平面直角坐标系使我们建立了平面上的点与一对有序数组(x,)之间的一一对应关系， 沟通了平面图形与数的研究。 为了沟通空间图形与数的研究，我们用类似于平面解析几何的方法，通过引进空间直 角坐标系来实现。 定义12.3空间直角坐标系：如果e1,e2,e两两垂直，并且它们都是单位向量，则 「O,c,e2,e称为直角标架或直角坐标系。 过空间一定点O,作三条互相垂直的数轴，它们以O为原点，且一般具有相同的长度 单位，这三条轴分别叫x轴（横轴）、y轴（纵轴）、：轴（竖轴），且统称为坐标轴。通常把x轴， y轴配置在水平面上，而：轴则是铅垂线，它们的正方向要符合右手规则： 130° 。y (图1.13)
坐标。 由定义 1.2.2 知，点 M 在仿射标架 O e e e ; , , 1 2 3 中的坐标为 ( , , ) x y z 的充分必要条件 是 OM xe ye ze x y z = + + = 1 2 3 ( , , ) 。 在空间取定一个仿射标架后，由定理 2.1.1 知，空间中全体向量集合与全体有序三元数 组的集合之间就建立了一一对应；通过定位向量，空间中全体点的集合与全体有序三元数组 的集合之间也建立了一一对应。 右手系与左手系：将右手四指（拇指除外）从 x 轴正方向弯向 y 轴正方向（转角要小于 弧度），如果拇指所指的方向与 z 轴正方向在 xoy 坐标面同侧，则称此坐标系为右手系， 否则称为左手系。 三 空间点的直角坐标: 平面直角坐标系使我们建立了平面上的点与一对有序数组 ( , ) x y 之间的一一对应关系， 沟通了平面图形与数的研究。 为了沟通空间图形与数的研究， 我们用类似于平面解析几何的方法，通过引进空间直 角坐标系来实现。 定义 1.2.3 空间直角坐标系：如果 e e e 1 2 3 , , 两两垂直，并且它们都是单位向量，则 O e e e ; , , 1 2 3 称为直角标架或直角坐标系。 过空间一定点 O ，作三条互相垂直的数轴，它们以 O 为原点，且一般具有相同的长度 单位，这三条轴分别叫 x 轴(横轴)、y 轴(纵轴)、z 轴(竖轴)，且统称为坐标轴。通常把 x 轴， y 轴配置在水平面上，而 z 轴则是铅垂线，它们的正方向要符合右手规则： (图 1.13)