江画工太猩院 链式法则如图示 azaz Ou az dv +=· + ay au ay Oy ay
江西理工大学理学院 u v x z y 链式法则如图示 = ∂ ∂ x z ⋅ ∂ ∂ u z x u ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ + v z , x v ∂ ∂ = ∂ ∂ y z ⋅ ∂ ∂ u z y u ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ + v z . y v ∂ ∂
江画工太猩院 类似地再推广,设=叭(x,y)、v=V(x,y)、 W=w(x,y)都在点(x,y)具有对x和y的偏导数, 复合函数z=八p(x,y,v(,y,w(x,y)在对应点 (x,y)的两个偏导数存在,且可用下列公式计算 ax au ax ay ax ow ax az oz Ou Oz Ov Oz Ow 2V& oy au ay Ov Oy Ow Oy
江西理工大学理学院 类似地再推广，设u = φ(x, y)、v =ψ (x, y)、 w = w(x, y)都在点(x, y)具有对x和 y的偏导数， 复合函数z = f[φ(x, y),ψ (x, y),w(x, y)]在对应点 (x, y)的两个偏导数存在，且可用下列公式计算 x w w z x v v z x u u z x z ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ , y w w z y v v z y u u z y z ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ . z w v u y x
江画工太猩院 特殊地z=∫(u,x,y)其中u=0(x,y) 即z=(x,y)x,y,令ν=x,W=y Ow a y a z_ of ou_ lafal of ou(|别 Ox au ox a 两者的区别 把z=f(u,x,y) 把复合函数z=八1(x,y),x,y中的n及y看作不 中的y看作不变而对x的偏导数皮变而对x的偏导数
江西理工大学理学院 特殊地 z = f (u, x, y) u = φ(x, y) 即 z = f [φ(x, y), x, y], , x f x u u f x z ∂ ∂ + ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ = ∂ ∂ . y f y u u f y z ∂ ∂ + ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ = ∂ ∂ 令 v = x, w = y, 其中 = 1, ∂∂xv = 0, ∂∂xw = 0, ∂∂yv = 1. ∂∂yw 把复合函数 z = f [φ( x, y), x, y] 中的 y看作不变而对x的偏导数 把 z = f (u, x, y) 中的u及 y 看作不 变而对x的偏导数 两者的区别 区别类似
江画工太猩院 例1设z=e",而u=sint,ν=t2, 求 d d t 解 d + dt au dt av dt =ve"·cost+Le4p,2t =tee s (t cost+2sint)
江西理工大学理学院 例 1 设 uv z = e ，而u = sin t， 2 v = t ， 求 dt dz. 解 = dt dz ⋅ ∂∂uz dt du ⋅ ∂∂ + vz dt dv ve t ue t uv uv = ⋅ cos + ⋅ 2 ( cos 2sin ). sin 2 te t t t t t = +