(I+ u)du_dx1+u?分离变量，得xY积分后，将u=x代回即得所求通解。例3解方程xy'= y(1+ ln y- Inx)。解原式可化为=兰(+n)dxxxdy-xdu业+u=x令u=x，则dxdx于是du+u=u(l+lnu)xdxdu_-dxulnu分离变量xIn In|u = In|u + InC两端积分得Inlu=Cxu=ecr.即y=xeCr故方程通解为
分离变量，得 x dx u u du = + + 2 1 (1 ) 积分后，将u = x y 代回即得所求通解。 例 3 解方程 xy'= y(1+ ln y − ln x) 。 解 原式可化为 (1 ln ) x y x y dx dy = + ， 令u = x y ，则 u dx du x dx dy = + ， 于是 u u(1 ln u) dx du x + = + 分离变量 x dx u u du = ln 两端积分得 ln ln u = ln u + lnC ln u = Cx 即 Cx u = e 。 故方程通解为 Cx y = xe
第四节一阶线性微分方程教学目的：掌握一阶线性微分方程的形式，熟练掌握其解法：掌握利用变量代换解微分方程的方法；了解贝努里方程的形式及解法教学重点：一阶线性微分方程的形式，及解的形式，利用变量代换解微分方程教学难点：一阶线性微分方程通解的形式，利用变量代换解微分方程教学内容：一、一阶线性方程+ P(x)y=Q(x)1、定义方程dx（1）称为一阶线性微分方程。特点关于未知函数√及其导数是一次的。若Q(x)=0，称（1）为齐次的；若Q(x)≠0，称（1）为非齐次的。'2y= (x +1)2如：（1）y+2xy=2xe-x+1(2)2、解法当Q(x)=0时，方程（1）为可分离变量的微分方程。当Q(x)±0时，为求其解首先把Q(x)换为0，即 + P(x)y=0dx(2)称为对应于（1）的齐次微分方程，求得其解y= Ce-fP(r)dt为求（1）的解，利用常数变易法，用(x)代替C，即=2(x)e-[pa)于是，=e-+e-([P()]dx代入（1)，得u= jo(x)e Pa)d dx +C
第四节 一阶线性微分方程 教学目的：掌握一阶线性微分方程的形式，熟练掌握其解法；掌握利用变量代换 解微分方程的方法；了解贝努里方程的形式及解法 教学重点：一阶线性微分方程的形式,及解的形式，利用变量代换解微分方程 教学难点：一阶线性微分方程通解的形式，利用变量代换解微分方程 教学内容： 一、一阶线性方程 1、定义 方程 P(x) y Q(x) dx dy + = （1）称为一阶线性微分方程。 特点 关于未知函数 y 及其导数 y' 是一次的。 若Q(x) ≡ 0 ，称（1）为齐次的； 若Q(x) ≠ 0 ，称（1）为非齐次的。 如：（1） 2 ' 2 2 x y xy xe− + = （2） 2 5 ( 1) 1 2 ' = + + − x x y y 2、解法 当Q(x) ≡ 0 时，方程（1）为可分离变量的微分方程。 当Q(x) ≠ 0 时，为求其解首先把Q(x) 换为 0，即 + P(x) y = 0 dx dy （2） 称为对应于（1）的齐次微分方程，求得其解 ∫ = − P x dx y Ce ( ) 为求（1）的解，利用常数变易法，用u(x) 代替C ，即 ∫ = − P x dx y u x e ( ) ( ) 于是， ' [ ( )] ( ) ( ) u e ue P x dx dy P x dx P x dx − ∫ + ∫ = − − 代入（1），得 u Q x e dx C P x dx + ∫ = ∫ ( ) ( )